Calcular as derivadas parciais de 1ª ordem.

T(x, y, z) = xyz / raiz(x^2 + y^2 + z^2)

Passo 1

Devemos calcular as derivadas parciais de 1ª ordem da equação T x , y , z dada.

Primeiramente, temos que derivar T x , y , z em relação a x :

∂ T ( x , y , z ) ∂ x = x 2 + y 2 + z 2 ⋅ y z - x y z ⋅ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 ⋅ 2 x   x 2 + y 2 + z 2 = y z y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2

Passo 2

Seguindo, derivaremos T x , y , z em relação a y :

∂ T ( x , y , z ) ∂ y = x 2 + y 2 + z 2 ⋅ x z - x y z ⋅ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 ⋅ 2 y   x 2 + y 2 + z 2 = x z x 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2

Passo 3

Por fim, derivaremos T x , y , z em relação a z :

∂ T ( x , y , z ) ∂ z = x 2 + y 2 + z 2 ⋅ x y - x y z ⋅ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 ⋅ 2 z   x 2 + y 2 + z 2 = x y x 2 + y 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2

Desse modo, obtemos a derivada parcial de T x , y , z em relação a cada variável da equação.

Resposta

y z y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2 ;   x z x 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2 ;   x y x 2 + y 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2 .

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