Enunciado

Calcular a diferencial da função dada no ponto indicado

w = x 2 + y 2 + z 2 ; P 2,1 , 2

Passo 1

A diferencial de uma função de três variáveis, w   =   f ( x , y , z ) , é uma função ou transformação linear que melhor aproxima o acréscimo ∆ w da variável dependente w.

Passo 2

Pela fórmula da diferencial para funções de três variáveis, temos que

d w = ∂ w ∂ x d x +   ∂ w ∂ y d y +   ∂ w ∂ z d z

∂ f ∂ x = x x 2 + y 2 + z 2

∂ f ∂ y = y x 2 + y 2 + z 2

∂ f ∂ z = z x 2 + y 2 + z 2

Portanto,

d f = x x 2 + y 2 + z 2 d x + y x 2 + y 2 + z 2 d y + z x 2 + y 2 + z 2 d z

Passo 3

Agora vamos substituir x ,y e z pelos seus respectivos valores no ponto desejado.

P 2,1 , 2

d f ( x , y , z ) = x x 2 + y 2 + z 2 d x + y x 2 + y 2 + z 2 d y + z x 2 + y 2 + z 2 d z

d f 2,1 , 2 = 2 3 d x + 1 3 d y + 2 3 d z

Resposta

d f 2,1 , 2 = 2 3 d x + 1 3 d y + 2 3 d z

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Dada z = f ( x 2 + y 2 ) , f diferenciável, mostrar que y ∂ z ∂ x - x ∂ z ∂ y = 0
Supondo que a função diferenciável z = f ( x , y ) é definida implicitamente pela equação dada, determinar ∂ z ∂ xe ∂ z ∂ y .b) x 2 + y 2 - z 2 - x y = 0
Supondo que a função diferenciável z = f ( x , y ) é definida implicitamente pela equação dada, determinar ∂ z ∂ xe ∂ z ∂ y .c) x y z - x - y + x 2 = 3
Supondo que a função diferenciável z = f ( x , y ) é definida implicitamente pela equação dada, determinar ∂ z ∂ xe ∂ z ∂ y .a) x 3 y 2 + x 3 + z 3 - z = 1
Determinar as derivadas parciais ∂ w ∂ u e ∂ w ∂ v . w = x 2 + 2 y 2 - z 2 ,x = 2 u v ,y = u + v ,z = u - v w = x y + x z + y z ,x = u 2 - v 2 ,y = u v ,z = u - v 2