Determinar as derivadas parciais ∂w / ∂u e ∂w/∂v

  1. w = x^2 + 2y^2 - z^2, x = 2uv, y = u + v, z = u - v
  2. w = xy + xz + yz, x = u^2 - v^2, y = uv, z = (u-v)^2

Passo 1

Vamos lá pra letra (a)! Derivando a função w em relação a u , temos:

∂ w ∂ u = ∂ w ∂ x ⋅ ∂ x ∂ u + ∂ w ∂ y ⋅ ∂ y ∂ u + ∂ w ∂ z ⋅ ∂ z ∂ u

∂ w ∂ u = 2 x 2 v + 4 y 1 - 2 z 1 = 4 x v + 4 y - 2 z

Substituindo x , y e z pelos valores dados no enunciado, temos:

∂ w ∂ u = 4 2 u v v + 4 u + v - 2 u - v

∂ w ∂ u = 8 u v 2 + 4 u + 4 v - 2 u ∓ 2 v

∂ w ∂ u = 8 u v 2 + 2 u + 6 v

Agora, derivando em relação a v , temos:

∂ w ∂ v = ∂ w ∂ x ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ w ∂ y ⋅ ∂ y ∂ v + ∂ w ∂ z ⋅ ∂ z ∂ v

∂ w ∂ v = 2 x 2 u + 4 y 1 - 2 z - 1

∂ w ∂ v = 4 x u + 4 y + 2 z

Substituindo x , y e z pelos valores dados no enunciado, temos:

∂ w ∂ v = 4 u 2 u v + 4 u + v + 2 u - v

∂ w ∂ v = 8 u 2 v + 4 u + 4 v + 2 u - 2 v

∂ w ∂ v = 8 v u 2 + 6 u - 2 v

Passo 2

Vamos para a letra (b)! Derivando w em relação a u

∂ w ∂ u = ∂ w ∂ x ⋅ ∂ x ∂ u + ∂ w ∂ y ⋅ ∂ y ∂ u + ∂ w ∂ z ⋅ ∂ z ∂ u

∂ w ∂ u = y + z 2 u + x + z v + x + y 2 u - v

∂ w ∂ u = 2 u y + 2 u z + x v + z v + 2 u x + 2 u y - 2 v x - 2 v y

∂ w ∂ u = 4 u y + 2 u z - x v + z v + 2 u x - 2 v y

Substituindo x , y e z pelos valores dados no enunciado, temos:

∂ w ∂ u = 2 v 3 + 4 u 3 - 4 u v 2

Agora, derivando em relação a v , temos:

∂ w ∂ v = ∂ w ∂ x ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ w ∂ y ⋅ ∂ y ∂ v + ∂ w ∂ z ⋅ ∂ z ∂ v

∂ w ∂ v = y + z - 2 v + x + z u + x + y 2 u - v - 1

∂ w ∂ v = - 2 y v - 2 z v + x u + z u - 2 u x - 2 u y + 2 v x + 2 v y

∂ w ∂ v = - u x - 2 z v + z u - 2 u y + 2 v x

Substituindo x , y e z pelos valores dados no enunciado, temos:

∂ w ∂ v = - 4 v 3 - 4 u 2 v + 6 u v 2

Resposta

  1. ∂ w ∂ u = 8 u v 2 + 2 u + 6 v   ; ∂ w ∂ v = 8 v u 2 + 6 u - 2 v .
  2. ∂ w ∂ u = 2 v 3 + 4 u 3 - 4 u v 2 ;   ∂ w ∂ v = - 4 v 3 - 4 u 2 v + 6 u v 2 .  
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