Enunciado

Supondo que a função diferenciável z = f ( x , y ) é definida implicitamente pela equação dada, determinar ∂ z ∂ x   e ∂ z ∂ y .

b) x 2 + y 2 - z 2 - x y = 0

Passo 1

Bom, pessoal, sabemos que z = f ( x , y ) é definida pela equação F x , y , z = 0 . Assim,

F x , y , z = x 2 + y 2 - z 2 - x y

A derivada da função F é dada por:

∂ F ∂ x ⋅ ∂ x ∂ x + ∂ F ∂ y ⋅ ∂ y ∂ x + ∂ F ∂ z ⋅ ∂ z ∂ x = 0

d z d x = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z

As derivadas parciais de F são:

∂ F ∂ x = 2 x - y

∂ F ∂ z = - 2 z

Passo 2

Assim, calculando a derivada ∂ z ∂ x :

∂ z ∂ x = - 2 x - y - 2 z

∂ z ∂ x = 2 x - y 2 z

Passo 3

A derivada da função F em relação à y é dada por:

∂ F ∂ x ⋅ ∂ x ∂ y + ∂ F ∂ y ⋅ ∂ y ∂ y + ∂ F ∂ z ⋅ ∂ z ∂ y = 0

∂ z ∂ y = - ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z

As derivadas parciais de F são:

∂ F ∂ y = 2 y - x

∂ F ∂ z = - 2 z

Passo 4

Assim, calculando a derivada ∂ z ∂ y :

∂ z ∂ y = - 2 y - x - 2 z

∂ z ∂ y = 2 y - x 2 z

Resposta

As derivadas são iguais a:

∂ z ∂ x = 2 x - y 2 z

∂ z ∂ y = 2 y - x 2 z

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

1. Verifique que a função dada é diferenciável.d) f x , y = ln ⁡ 1 + x 2 + y 2
1. Verifique que a função dada é diferenciável.a) f x , y = e x - y 2
1. Verifique que a função dada é diferenciável.b) f x , y = x 4 + y 3
1. Verifique que a função dada é diferenciável.e) f x , y = x c o s x 2 + y 2
Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização L ( x , y ) da função no ponto.13- f x , y = e x cos ⁡ x y ,( 0,0 )