Enunciado

Calcular a integral do campo vetorial f → = ( 2 x y ,   x 2 , 3 z ) , do ponto A ( 0 ,   0 ,   0 ) ao ponto B 1 ,   1 ,   2 , ao longo dos seguintes caminhos:

b) Intersecção das superfícies z = x 2 + y 2 e x = y .

Passo 1

Bora continuar!

Bom galera, já sabemos que parametrização nada mais é do que definir nossos valores de x, y e z em função de uma variável, tudo bem?

Aqui nós já temos o x em função do y, então:

x = x

y = x

z = x 2 + x 2 = 2 x 2

Achando a derivada:

d y = d x

d z = 4 x d x

E quanto ao intervalo?

Podemos nos atentar ao fato que o x vai de 0 até 1:

0 ≤ x ≤ 1

Até aqui tranquilo?

Então vamos continuar!!

Passo 2

A definição (4) nos trás que:

I = ∫ C f → .   d r → = ∫ C ( f 1 d x + f 2 d y + f 3 d z )

No nosso caso:

= ∫ C ( 2 x y d x + x 2 d y + 3 z d z )

Na integral:

= ∫ 0 1 ( 2 x 2 d x + x 2 d x + 6 x 2 ( 4 x d x ) )

= ∫ 0 1 ( 3 x 2 d x + 24 x 3 d x )

Integrando:

= 3 x 3 3 + 24 x 4 4

= x 3 + 6 x 4

No intervalo:

= 7

E acabamos !!

Resposta

7

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Determine o campo vetorial gradiente ∇ f de f e o esboce. f x ,y = x 2 + y 2
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Faça uma correspondência entre as funções f e os desenhos de seus campos vetoriais gradientes (rotulados de I - I V ). Justifique suas escolhas. f x ,y = s e n x 2 + y 2