Calcular a integral indefinida.

∫ d t 3 + s e n   t + cos ⁡ t

Passo 1

Vamos lá, aqui a gente tem uma função racional de seno e cosseno.

O próprio livro dá o macete pra resolver esse tipo de integral. Nesse caso a gente usa a substituição:

  t = t g u 2

E com isso a gente tem que:

s e n   t = 2 u 1 + u 2 ; cos ⁡ t = 1 - u 2 1 + u 2   e   d t = 2 d u 1 + u 2

Passo 2

A gente substitui e fica com:

∫ 2 d u 1 + u 2 3 + 2 u 1 + u 2 + 1 - u 2 1 + u 2

= ∫ 2 d u 1 + u 2 3 + 3 u 2 + 2 u + 1 - u 2 1 + u 2

= ∫ 2 d u 2 u 2 + 2 u + 4

= ∫ d u u 2 + u + 2

Aqui a gente completa o quadrado:

= ∫ d u u + 1 2 2 + 7 4

Passo 3

Aí integrando fica:

1 7 2 a r c t g   u + 1 2 7 2 + C

2 7 a r c t g 2 u + 1 7 + C

Só a gente voltar pra variável t   agora:

2 7 a r c t g   2 t g t 2 + 1 7 + C

Prontinho! Essa é a integral😉

Resposta

2 7 a r c t g   2 t g t 2 + 1 7 + C

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