Calcular a integral indefinida.

∫ cos ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ d θ

Passo 1

Vamos lá, aqui a gente tem uma função racional de seno e cosseno.

O próprio livro dá o macete pra resolver esse tipo de integral. Nesse caso aqui vai ficar

  t = t g θ 2

E com isso a gente tem que:

s e n   θ = 2 t 1 + t 2 ; cos ⁡ θ = 1 - t 2 1 + t 2   e   d θ = 2 d t 1 + t 2

Passo 2

Substituindo vai ficar assim:

∫ 1 - t 2 1 + t 2 1 +   1 - t 2 1 + t 2 ∙ 2 d t 1 + t 2

Vamos arrumar isso aí agora:

∫ 1 - t 2 1 + t 2 1 + t 2 + 1 - t 2 1 + t 2 ∙ 2 d t 1 + t 2

∫ 1 - t 2 2 ∙ 2 d t 1 + t 2

∫ 1 - t 2 1 + t 2 d t

Chegamos nessa integral aí agora, bem mais bonitinha...

Passo 3

A gente tem o mesmo grau na função de cima e na debaixo, então vamos dividir pra ficarmos com uma fração própria. Vai ficar assim:

∫ - 1 + 2 1 + t 2   d t

Beleza, agora ficou fácil de integrar. Dá isso aqui:

= - t + 2 a r c t g   t + C

Ótimo! Agora é só voltar pra variável inicial:

=   - t g θ 2 + 2 a r c t g   t g θ 2 + C

=   - t g θ 2 + θ + C

Prontinho😉

Resposta

- t g θ 2 + θ + C

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