Calcular a integral indefinida.

∫ 2 d x s e n   x + t g   x

Passo 1

Vamos lá, aqui a gente tem uma função racional de seno e cosseno.

O próprio livro dá o macete pra resolver esse tipo de integral. A gente usa a substituição:

  t = t g x 2

E com isso a gente tem que:

s e n   x = 2 t 1 + t 2 ; cos ⁡ x = 1 - t 2 1 + t 2   e   d x = 2 d t 1 + t 2

Vamos lá então...

Passo 2

Substituindo, fica assim:

I = ∫ 2 2 d t 1 + t 2 2 t 1 + t 2 + 2 t 1 + t 2 ∙ 1 + t 2 1 - t 2

Vamos desenvolver isso aí agora...

= ∫ 4 d t ( 1 + t 2 ) 2 t 1 - t 2 + 2 t ( 1 + t 2 ) ( 1 + t 2 ) ( 1 - t 2 )

= ∫ 4 d t 2 t - 2 t 3 + 2 t + 2 t 3 1 - t 2

= ∫ 4 d t ∙ 1 - t 2 4 t

= ∫ 1 - t 2 d t t

Agora tá mais bonitinho...

Passo 3

A gente integra e fica:

= ln ⁡ t - t 2 2 + C

Aí é só voltar pra variável x :

= ln ⁡ t g x 2 - t g 2 x 2 2 + C

Prontinho😉

Resposta

ln ⁡ t g x 2 - t g 2 x 2 2 + C

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