Enunciado

Calcular o momento de inércia de um disco circular de diâmetro 10 cm:

a) Em relação ao seu próprio centro

b) em relação ao seu diâmetro

Considerara densidade igual uma constante K

Passo 1

Para resolvermos questões relacionadas a centro de massa e momento de inercia precisamos da seguinte teoria :

Consideramos um sistema cuja massa total esta distribuída numa região do plano e não apenas num conjunto formado por um número finito de pontos, os conceitos de massa, centro de massa e momento são definidos por meio de integrais duplas. Por exemplo, consideremos uma lâmina fina tendo a forma de uma região D do plano e assumamos que a massa está distruibuida sobre essa lâmina com densidade (massa por unidade de área ) conhecida, isto é, existe uma função positiva f definida em D tal que f ( x , y ) representa a massa por unidade de área em x , y .

Para o calculo do momento de inercia da lâmina, segue que

Se L é uma reta no plano da lâmina D, seja δ ( x , y ) a distancia do ponto (x,y) em D à reta L. Defini-se momento de inercia por

I =   ∬ D δ 2 ( x , y )   f x , y d x d y

Onde f ( x , y )   é a densidade em cada ponto

Passo 2

a) O momento de inercia em relação ao centro é dado por:

I =   ∬ D δ 2 ( x , y )   f x , y d x d y

Nossa região D é da forma:

Nossas variáveis estão delimitadas no seguinte intervalo

- 5 ≤ x ≤ 5

- 25 - x 2 ≤ y ≤ 25 - x 2

Como a densidade nos foi dita que é constante, segue que

f x , y =   k

Substituindo na nossa equação, e resolvendo por coordenadas polares

I =   k ∫ - 5 5 ∫ - 25 - x 2 25 - x 2 ( x 2 + y 2 ) d y d x = k ∫ 0 2 π ∫ 0 5 r 2 r d r d t = k ∫ 0 2 π 625 4 d t = 625 k π 2

b) Em ralação ao diâmetro será:

Seja o diâmetro igual ao eixo x, vamos resolver por meio de coordenadas polares

I x =   ∬ D δ 2 ( x , y )   f x , y d x d y =   k ∫ - 5 5 ∫ - 25 - x 2 25 - x 2 y 2 d y d x = k ∫ 0 2 π ∫ 0 5 r 3 s e n 2 t d r d t = 625 k π 4

Resposta

a) 625 k π 2

b) 625 k π 4

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Determine os momentos de inércia I x , I y , I 0 para a lâmina do Exercício 12 .