Enunciado

Calcular

∫ ∫ S x   z 2 + y 2   d S  

Onde S é o hemisfério da frente x ²   +   y ²   +   z ²   =   9

Passo 1

Vamos considerar que “hemisfério da frente” seja a parte com fazemos projeção no plano YZ. Logo nossa região de integração vai depender de y e z. Vamos analisar nossa esfera

x 2 +   y 2 +   z 2 =   9

x   = 9 -   y 2 -   z ²  

E nossa região vai ser

E também lembrar que nosso calculo vai ter essa forma

∫ ∫ S f   d S =   ∫ ∫ R f   x ( y , z ) , y ,   z   1 + ∂ x ∂ y 2 + ∂ x ∂ z 2 d y d z

Passo 2

Logo nossa integração fica

∫ ∫ R x   z 2 + y 2 1 + d x d y 2 + d x d z 2 d y d z  

Lembra que definimos uma expressão para x? então podemos usar essa expressão para substituir aqui

= ∫ ∫ R   9 -   y 2 -   z ² z 2 + y 2 1 + d x d y 2 + d x d z 2   d y d z  

Passo 3

Vamos então calcular essas derivadas parciais

d x d y =   d d y 9 -   y 2 -   z ²

=   - 2 y 2 9 -   y 2 -   z 2   → - y 9 -   y 2 -   z ²

O mesmo raciocínio vale para parcial em z

d x d z =   d d z 9 -   y 2 -   z ²

=   - z 9 -   y 2 -   z ²

Agora que chegou a parte de sermos sagazes. Nossa região de projetação é um circulo, talvez seria mais fácil Calcularmos essa integral em coordenadas polares. Vamos usar a seguinte equação então :

z 2 + y 2 = r 2

E também lembrar que estamos deformando o espaço. Em cartesiana, vemos o mundo em quadrados, já em polares vemos em círculos. Mudando de uma coordenada para a outra precisamos fazer uma correção pela distorção espaço – o Jacobiano. Nesse caso o Jacobiano de polar é r

= ∫ ∫ R   9 -   r ² r ²   r 1 + d x d y 2 + d x d z 2   d r d θ  

=   ∫ ∫ R   9 -   r ² r ²   r 1 + - y 9 -   y 2 -   z ² 2 + - z 9 -   y 2 -   z ² 2   d r d θ  

=   ∫ ∫ R   9 -   r ² r ²   r 1 + y 2 + z 2 9 -   y 2 -   z ²   d r d θ  

=   ∫ ∫ R   9 -   r ² r ²   r 1 + r 2 9 -   r 2   d r d θ  

Ficou grande essa conta!. Mas calma que já ta acabando. Vamos inclusive facilitar cortar as raízes, percebe só

=   ∫ ∫ R   9 -   r ² r ²   r 9 - r 2 +   r 2 9 -   r 2   d r d θ  

=   ∫ ∫ R   9 -   r ² r ²   r 9 9 -   r 2   d r d θ  

Agora sim podemos cortar os termos 9 -   r ²

= ∫ ∫ R 9 -   r 2 9 -   r 2 r ²   r 9   d r d θ  

=   ∫ ∫ R 3 r ²   r   d r d θ  

=   ∫ ∫ R 3 r 3   d r d θ  

Agora basta inserir os limites de integração

∫ 0 2 π ∫ 0 3   3 r 3   d r d θ

Como nossa função não depende de θ podemos integrar logo em relação a essa variável

2 π ∫ 0 3   3 r 3   d r

= 2 π   3 4 r 4 0 3

= 2 π 3 4 3 4

= 3 5 2 π

UFAAA!!!! Essa conta foi grande, mas depois que montamos a integração fica mais tranquilo. Porque é so exercício de braço. Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ S x   z 2 + y 2   d S =   3 5 2 π  

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