10. Calcular ∬ R d y   d x x + y 2   , onde R é o retângulo 3 <= x <= 4 e 1 ≤ y ≤ 2 .

Passo 1

Seguindo a ordem de integração levando em consideração o gráfico, temos:

∫ 3 4 ∫ 1 2 d y   d x x + y 2  

Vamos integrar em função de y e depois em função de x ,

∫ 1 2 x + y - 2   d y =

x + y - 1 - 1 1 2 = - 1 x + y 1 2 = - 1 x + 2 + 1 x + 1

Passo 2

∫ 3 4 - 1 x + 2 + 1 x + 1 d x =

- ln ⁡ x + 2 + ln ⁡ x + 1 3 4 =

2 ln ⁡ 5 - ln ⁡ 3 - 3 ln ⁡ 2

Resposta

2 ln ⁡ 5 - ln ⁡ 3 - 3 ln ⁡ 2

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