Enunciado

Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla

∬ D x + 2 d A

D = x , y | 0 ≤ y ≤ 9 - x 2

Passo 1

Este tipo de questão é interessante pois nos cobra o uso de propriedades (quando falamos de simetria estamos pensando na paridade de funções) ou na comparação do sólido com o volume de uma figura.

Vamos começar por entender a nossa região D. Ela é dada entre as curvas y = 0 e y = 9 - x 2 . Esta última é a parte superior de um círculo. Logo, temos:

Logo, é uma região simétrica em torno do eixo y , com x variando de x = - 3 até x = 3 . Portanto, a nossa integral é:

∫ - 3 3 ∫ 0 9 - x 2 x + 2 d y d x = ∫ - 3 3 ∫ 0 9 - x 2 x d y d x + 2 ∫ - 3 3 ∫ 0 9 - x 2 d y d x

Passo 2

Como pode ser visto no passo 1, separamos a integral em duas integrais. Vamos analisar cada uma separadamente. Começando pela primeira, temos:

∫ - 3 3 ∫ 0 9 - x 2 x d y d x = ∫ - 3 3 x 9 - x 2 d x

Como a função f x = x 9 - x 2 é uma função ímpar, isto é, f x = - f - x , ao integrarmos em um intervalo simétrico, o seu valor é igual a 0! Logo,

∫ - 3 3 ∫ 0 9 - x 2 x d y d x = 0

Agora, só nos falta resolvermos a segunda parte da integral. E a mesma corresponde a uma integral da unidade. Isto é:

2 ∫ - 3 3 ∫ 0 9 - x 2 d y d x = 2 ∬ D d A = 2 × Á r e a   d e   D

Logo, como a região D corresponde a um semicírculo de raio 3, a sua área é π ⋅ 3 2 2 . Portanto,

∬ D x + 2 d A = 0 + 2 ⋅ π ⋅ 9 2 = 9 π

Resposta

∬ D x + 2 d A = 9 π

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Defina as integrais iteradas para ambas as ordens de integração. Então, calcule a integral dupla usando a ordem mais fácil e explique por que ela é mais fácil ∬ D y d A D é limitada por y = x - 2 , x
Expresse D como a região do tipo I e também como uma região do tipo II. Em seguida, calcule a integral dupla de duas maneiras. ∬ D x y d A D é limitada pelas retas y = x 2 , y = 3 x
Expresse D como a região do tipo I e também como uma região do tipo II. Em seguida, calcule a integral dupla de duas maneiras. ∬ D x d A D é limitada pelas retas y = x , y = 0 , x = 1 .
∫ 0 1 ∫ 2 x 2 x - y d y d x