Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.3 - Ex. 63
Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla
Passo 1
Este tipo de questão é interessante pois nos cobra o uso de propriedades (quando falamos de simetria estamos pensando na paridade de funções) ou na comparação do sólido com o volume de uma figura.
Vamos começar por entender a nossa região D. Ela é dada entre as curvas e . Esta última é a parte superior de um círculo. Logo, temos:
Logo, é uma região simétrica em torno do eixo , com variando de até . Portanto, a nossa integral é:
Passo 2
Como pode ser visto no passo 1, separamos a integral em duas integrais. Vamos analisar cada uma separadamente. Começando pela primeira, temos:
Como a função é uma função ímpar, isto é, , ao integrarmos em um intervalo simétrico, o seu valor é igual a 0! Logo,
Agora, só nos falta resolvermos a segunda parte da integral. E a mesma corresponde a uma integral da unidade. Isto é:
Logo, como a região D corresponde a um semicírculo de raio 3, a sua área é . Portanto,