Calcular as seguintes integrais:

∫ 0 3 ∫ 0 9 - x 2 ∫ 0 9 - x 2 - y 2 d z d y . d x

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, pela primeira integral nós vemos que o z vai de zero até 9 - x 2 - y 2 .

Então:

z = 9 - x 2 - y 2

x 2 + y 2 + z 2 = 9

Como x e y também partem do zero, nosso desenho ficará assim:

Neste caso é legal nós usarmos coordenadas cilíndricas, onde:

x 2 + y 2 = r 2

z = 9 - r 2

Então z irá:

0 ≤ z ≤ 9 - r 2

O maior raio será obtido quando z equivale a zero, não é?

x 2 + y 2 + z 2 = 9

r 2 + 0 = 9

r = ± 3

Shooow!! Já temos o intervalo de r:

0 ≤ r ≤ 3

Legal, agora só precisamos de θ .

O θ é o ângulo que o ponto pode fazer com o eixo x, no círculo esse ângulo vai de 0 até 360°, no entanto nós teremos somente ¼ da esfera:

0 ≤ θ ≤ π 2

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição (4) para mudar as variáveis de integração:

∫ 0 3 ∫ 0 9 - x 2 ∫ 0 9 - x 2 - y 2 d z d y . d x = ∫ 0 π 2 ∫ 0 3 ∫ 0 9 - r 2 r . d z . d r . d θ

Resolvendo:

∫ 0 9 - r 2 r d z = r z = r 9 - r 2

Aplicando na integral:

∫ 0 π 2 ∫ 0 3 r 9 - r 2 . d r . d θ

Resolvendo a integral:

∫ 0 3 r 9 - r 2 d r

Chamando:

u = 9 - r 2

d u = - 2 r d r →   - d u 2 = r . d r

Então:

= ∫ 0 3 u - d u 2 = - 1 2 ∫ 0 3 u 1 2 . d u

= - 1 2 . u 3 2 3 2 = - 1 3 u 3 2

Substituindo o u:

= - 1 3 ( 9 - r 2 ) 3 2

Aplicando o intervalo:

= - 1 3 9 - 3 2 3 2 - 9 - 0 2 3 2

= - 1 3 - 9 3 2 = 9

Passo 3

Agora vamos colocar o resultado do passo 2 na equação:

= ∫ 0 π 2 9 . d θ

= 9 ∫ 0 π 2 d θ = 9 θ

Aplicando o intervalo:

= 9 π 2 - 0

= 9 π 2

Prontinhoo!!

Resposta

9 π 2

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