Enunciado

Calcular a integral I = ∫ C [ x e x d x - ( x + 2 y ) d y ] , onde C é:

c) A poligonal de (0,0) a (0,1) a (-1,-2).

Passo 1

Bora continuar!

Vamos desenhar os pontos para ficar mais claro, certo?

Então, a nossa poligonal irá unir o ponto A ao C. Para calcular a integral de linha, nós poderemos a equação da reta de BC, que apresenta os mesmos intervalos quanto à variável que nos interessa, o x.

Substituindo os pontos B e C na equação da reta:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

1 - - 2 = m ( 0 - ( - 1 ) )

m = 3

Então a equação da reta é:

y = 3 x + 1

d y = 3 d x

E o intervalo será:

- 1 ≤ x ≤ 0

Substituindo na integral:

∫ - 1 0 [ x e x d x - ( x + 2 ( 3 x + 1 ) ) 3 d x ]

= ∫ - 1 0 x e x d x - 3 7 x + 2 d x

= ∫ - 1 0 x e x d x - 3 ∫ - 1 0 7 x + 2 d x

Passo 2

Vamos resolver cada integral separadamente:

∫ - 1 0 x e x d x

Resolvendo por partes:

u = x → d u = d x

d v = e x → v = e x

Então:

∫ - 1 0 x e x d x = x e x - ∫ - 1 0 e x d x

= x e x - e x

Aplicando o intervalo:

= ( 0 + e - 1 ) - ( 1 - e - 1 )

Concluindo que:

∫ - 1 0 x e x d x = 2 e

Resolvendo a segunda:

∫ - 1 0 7 x + 2 d x = 7 x 2 2 + 2 x

Aplicando o intervalo:

= 7 2 0 - - 1 2 + 2 0 - - 1 = - 7 2 + 2 = - 3 2

Aplicando na integral do Passo 1:

= 2 e - 3 - 3 2

= 2 e + 9 2

Como a reta está no sentido que consideramos anti-horário:

I = - 2 e - 9 2

E acabamos !!

Resposta

- 2 e - 9 2

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