Enunciado

Calcular ∭_T^() ( x^2 + y^2 ) d V , onde T é o sólido delimitado por 4 <= x^2 + y^2 + z^2 <= 9 .

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:

Como o problema nos disse, nossa região é limitada por duas esferas, a menor, x^2 + y^2 + z^2 = 4 , e a maior, x^2 + y^2 + z^2 = 9 .

Neste caso é legal nós usarmos coordenadas esféricas, começando pela maior:

x^2 + y^2 + z^2 = p^2

p^2 = 9

p = +- 3

Para a menor:

p^2 = 4

p = +- 2

Então p estará entre:

2 <= p <= 3

Legal, agora só precisamos de ф e theta .

Já sabemos que ф é o ângulo entre um ponto P e o eixo z, certo? Na esfera este ângulo pode ir de 0 até 180°, então:

0 <= ф <= pi

O theta é o ângulo que o ponto pode fazer com o eixo x, na esfera esse ângulo vai de 0 até 360°:

0 <= theta <= 2 pi

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição (6) para mudar as variáveis de integração:

∭_T^() (x^2 + y^2) . d V

Lembrando que:

x = p . s e n (ф) . cos ( theta )

y = p . s e n (ф) . s en ( theta )

= ∭_T^() ( p^2 . s e n^2 (ф) . cos^2 (theta) + p^2 . s e n^2 (ф) . sen^2 ( theta ) ) p^2 . s e n (ф) . d p . d theta . d ф

= ∭_T^() p^2 . s e n^2 (ф) . ( cos^2 (theta) + sen^2 ( theta ) p^2 . s e n (ф) . d p . d theta . d ф

= ∭_T^() p^4 . s e n^3 (ф) . d p . d theta . d ф

= ∬_R^() [int_2^3 p^4 . d p] s e n^3 (ф) . d theta . d ф

Resolvendo:

int_2^3 p^4 . d p = (p^5)/(5) = (3^5 - 2^5)/(5) = (211)/(5)

Aplicando na integral:

= int_0^(pi) [ int_0^(2 pi) ((211)/(5)) d theta ] s e n^3 (ф) . d ф

Resolvendo a integral:

int_0^(2 pi) ((211)/(5)) d theta = (422 pi)/(5)

Passo 3

Agora vamos colocar o resultado do passo 2 na equação:

= int_0^(pi) (422 pi)/(5) . s e n^3 (ф) . d ф

= (422 pi)/(5) int_0^(pi) s e n^2 (ф) . s e n (ф) . d ф

Usando a identidade:

= (422 pi)/(5) int_0^(pi) ( 1 - c o s^2 (ф) ) . s e n (ф) . d ф

Chamando:

u = cos (ф)

d u = - s en (ф) d ф

Aplicando o intervalo:

u = cos (pi) = - 1

u = cos (0) = 1

= - (422 pi)/(5) int_(- 1)^1 ( 1 - u^2 ) . ( - d u )

= - (422 pi)/(5) int_(- 1)^1 ( u^2 - 1 ) . d u

= - (422 pi)/(5) [(u^3)/(3) - u]

Agora vamos aplicar o intervalo:

= - (422 pi)/(5) [(1^3 - (- 1)^3)/(3) - [1 - ( - 1 )]]

= - (422 pi)/(5) [(2)/(3) - 2]

= - (422 pi)/(5) [(- 4)/(3)]

= (1688 pi)/(15)

Prontinhoo!!

Resposta

(1688 pi)/(15)

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Mude de coordenadas retangulares para esféricas.(a) 1 , 3 , 2 3 (b) 0 , - 1 , - 1