Calcular as seguintes integrais:

∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 1 x 2 d z . d y . d x

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, pela primeira integral nós vemos que o z vai de x 2 + y 2 2 até 1.

Então nosso desenho ficará assim:

Neste caso é legal nós usarmos coordenadas cilíndricas, onde:

x 2 + y 2 = r 2

z = r 2 2 = r 4

Então z irá:

r 4 ≤ z ≤ 1

O maior raio será obtido quando z equivale a um, não é?

1 = r 4

r = ± 1

Shooow!! Já temos o intervalo de r:

0 ≤ r ≤ 1

Legal, agora só precisamos de θ .

O θ é o ângulo que o ponto pode fazer com o eixo x, no círculo esse ângulo vai de 0 até 360°, então:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição (4) para mudar as variáveis de integração:

∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 1 x 2 d z . d y . d x

Lembrando que:

x = r . cos ⁡ ( θ )

Então:

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ r 4 1 ( r 2 . cos 2 ⁡ ( θ ) ) r   d z . d r . d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ r 4 1 ( r 3 )   d z . d r . cos 2 ⁡ ( θ ) . d θ

Resolvendo:

∫ r 4 1 ( r 3 ) d z = r 3 z = r 3 ( 1 - r 4 )

Aplicando na integral:

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ( r 3 - r 7 ) d r . cos 2 ⁡ ( θ ) . d θ

Resolvendo a integral:

∫ 0 1 ( r 3 - r 7 ) d r = r 4 4 - r 8 8

Aplicando o intervalo:

= 1 4 4 - 1 8 8 = 1 8

Passo 3

Agora vamos colocar o resultado do passo 2 na equação:

= ∫ 0 2 π 1 8 cos 2 ⁡ ( θ ) . d θ

= 1 8 ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ ( θ ) . d θ

Lembrando que:

cos 2 ⁡ ( θ ) = 1 + cos ⁡ ( 2 θ ) 2

Substituindo:

= 1 8 ∫ 0 2 π ( 1 + cos ⁡ ( 2 θ ) ) . d θ

= 1 16 θ + ∫ 0 2 π cos ⁡ 2 θ . d θ

Mais uma substituição aqui:

= 1 16 θ + 1 2 s e n   ( 2 θ )

Aplicando o intervalo:

= 1 16 2 π + 1 2 s e n   4 π - s e n   0

= 1 16 2 π

= π 8

Prontinhoo!!

Resposta

π 8

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