Enunciado

Calcular os seguintes limites usando a proposição 3.3 . 6 :

b) lim x → 0 + y → 0 + ⁡ x y 2 + y 3 - x y 3 x 2 + y 2

Passo 1

A proposição 3.3 . 6 diz que se lim x → 0 y → 0 ⁡ f x ,   y = 0 e g ( x , y ) é uma função limitada em uma bola aberta de centro em ( x 0 , y 0 ) , então

lim x → 0 y → 0 ⁡ f x ,   y ⋅ g ( x , y ) = 0

Passo 2

Queremos então provar que lim x → 0 + y → 0 + ⁡ x y 2 + y 3 - x y 3 x 2 + y 2 = 0 , para isso vamos separar em duas funções, uma f ( x , y ) e uma g ( x , y ) , onde provaremos que a lim x → 0 y → 0 ⁡ f x , y = 0 e que a g ( x , y ) é limitada.

Podemos reescrever o limite da seguinte maneira:

lim x → 0 + y → 0 + ⁡ x y 2 + y 3 - x y 3 x 2 + y 2 = lim x → 0 + y → 0 + ⁡ x y 2 + y 3 - x y 3 x 2 + y 2 = lim x → 0 + y → 0 + ⁡ y 2 ⋅ x + y - x y x 2 + y 2

Vamos considerar f x , y = y 2 e g x , y = x + y - x y x 2 + y 2

Passo 3

Primeiro calculamos o limite de f ( x , y ) , assim temos:

lim x → 0 + y → 0 + ⁡ y 2 = 0 2 = 0

Passo 4

Agora temos que provar que g x , y é limitada. Para isso podemos dizer o seguinte:

x + y - x y x 2 + y 2 = x + y + x y x 2 + y 2 = x x 2 + y 2 + y x 2 + y 2 + x y x 2 + y 2

Agora avaliamos cada uma independentemente e provamos que elas são limitadas.

Para x x 2 + y 2 , podemos provar que ela é limitada da seguinte maneira:

Podemos dizer que x é sempre maior que zero e menor que x 2 + y 2 :

0 ≤ x ≤ x 2 + y 2

Agora dividimos tudo por x 2 + y 2 .

0 x 2 + y 2 ≤ x x 2 + y 2 ≤ x 2 + y 2 x 2 + y 2

Simplificando temos:

0 ≤ x x 2 + y 2 ≤ 1

Com isso provamos que x x 2 + y 2 é limitada.

Um raciocínio equivalente vale para y x 2 + y 2 .

Para x y x 2 + y 2 , podemos provar que é menor do que 1 usando coordenadas polares:

Temos que x = r cos ⁡ θ , e y = r sen ⁡ θ . Substituindo na relação acima temos:

r 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ r 2 = sen ⁡ θ cos ⁡ θ

0 < sen ⁡ θ cos ⁡ θ < 1

Assim temos que:

x + y - x y x 2 + y 2 = x x 2 + y 2 + y x 2 + y 2 + x y x 2 + y 2 ≤ 1 + 1 + 1

Dessa forma provamos que a g x , y é uma função limitada.

Passo 5

Pelo passo 3 e pelo passo 4 temos que lim x → 0 y → 0 ⁡ f x , y = 0 e que g x , y é limitada, assim pela proposição 3.3 . 6

lim x → 0 + y → 0 + ⁡ x y 2 + y 3 - x y 3 x 2 + y 2 = lim x → 0 + y → 0 + ⁡ y 2 ⋅ x + y - x y x 2 + y 2 = 0 = 0

Resposta

lim x → 0 + y → 0 + ⁡ x y 2 + y 3 - x y 3 x 2 + y 2 = 0

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Calcular os seguintes limites usando a proposição 3.3 . 6 :a) lim x → 0 y → 0 ⁡ x y x + y x 2 + y 2