Calcular ∬ R x d x d y , sendo R a região delimitada por x^2 + y^2 - 4x = 0 .

Passo 1

A representação gráfica se dá:

Assim:

x 2 + y 2 - 4 x ≤ 0

x 2 + y 2 ≤ 4 x

Como:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Temos:

r 2 ≤ 4 r cos ⁡ θ

r ≤ 4 cos ⁡ θ

Desse modo, temos que:

0 ≤ r ≤ 4 cos ⁡ θ

- π 2 ≤   θ ≤ π 2

Passo 2

As coordenadas polares se dão da seguinte forma:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Então, substituindo na equação dada, temos:

∬ r cos ⁡ θ ⋅ r   d r d θ

Passo 3

Integrando para r :

∫ 0 4 cos ⁡ θ r 2 cos ⁡ θ d r = r 3 3 cos ⁡ θ

Aplicando os limites:

64 cos 3 ⁡ θ - 0 3 cos ⁡ θ = 64 3 cos 4 ⁡ θ  

Passo 4

Integrando para θ :

∫ - π 2 π 2 64 3 cos 4 ⁡ θ d θ = 64 3 ∫ - π 2 π 2 cos 2 ⁡ θ 2 d θ = 64 3 ∫ - π 2 π 2 1 + cos ⁡ 2 x 2 2 d θ

= 64 3 ∫ - π 2 π 2 1 + 2 cos ⁡ 2 x + cos 2 ⁡ 2 x 4 d θ

= 16 3 ∫ - π 2 π 2 1 + 2 cos ⁡ 2 x + 1 + cos ⁡ 4 x 2 d θ

= 16 3 ∫ - π 2 π 2 1 + 2 cos ⁡ 2 x + 1 2 + cos ⁡ 4 x 2 d θ

= 16 3 ∫ - π 2 π 2 3 2 + 2 cos ⁡ 2 x + cos ⁡ 4 x 2 d θ

Integrando e aplicando os limites de integração:

= 16 3 3 θ 2 + sin ⁡ 2 x + sin ⁡ 4 x 8 - π 2 π 2 = 8 θ + 16 sin ⁡ 2 x 3 + 2 sin ⁡ 4 x 3 - π 2 π 2 =

= 4 π + 16 sin ⁡ π 3 + 2 sin ⁡ 2 π 3 - - 4 π + 16 sin ⁡ - π 3 + 2 sin ⁡ - 2 π 3

= 4 π + 0 + 0 - - 4 π + 0 + 0 = 4 π + 4 π = 8 π

Resposta

∬ R x d x d y = 8 π

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