Calcular ∬ R x 2 + y 2 d x d y , sendo R a região delimitada por x^2 + y^2 = 1 e x^2 + y^2 = 9 .

Passo 1

A representação da região de integração é dada:

Assim:

x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 9

Como:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Temos:

1 ≤ r 2 ≤ 9

1 < r ≤ 3

Desse modo, temos que:

1 ≤ r ≤ 3

0 ≤   θ ≤ 2 π

Passo 2

As coordenadas polares se dão da seguinte forma:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Então, substituindo na equação dada, temos:

∫ 0 2 π ∫ 1 3 r ⋅ r d r d θ

Passo 3

Integrando para r :

∫ 1 3 r 2 d r = r 3 3

Aplicando os limites:

27 - 1 1 3 = 26 3    

Passo 4

Integrando para θ :

∫ 0 2 π 26 3   d θ = 26 3 θ

Aplicando os limites:

2 π - 0 26 3 = 52 π 3

Resposta

52 π 3

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