Enunciado

Calcular um valor aproximado para as seguintes raízes, usando diferencial.

(a) 50 ;(b) 63,5 3 ;(c) 13 4

Passo 1

Para calcular esses valores aproximados, vamos partir de pontos próximos o suficiente dos valores que temos, cujos resultados nós conhecemos. Como assim?

Pra 50 , o valor mais próximo que conhecemos exatamente é 49 = 7 .

Pra 63,5 3 , conhecemos exatamente 64 3 = 4 .

Pra 13 4 , conhecemos exatamente 16 4 = 2 .

Passo 2

(c)Vamos tirar uma raiz de índice 4. Estamos então trabalhando com uma função do tipo f x = x 4 .

Pra determinar o valor f x = 13 4 , vamos trabalhar com a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto x = 16 . A equação tem o seguinte formato:

y = f 16 + f ' ( 16 ) ∙ ( x - 16 )

Temos que a derivada da nossa função f x = x 4 vale f ' x = 1 4 x 3 4 . Aplicada no ponto x = 16 , temos f ' 16 = 1 4 16 3 4 = 1 4 4096 4 = 1 4 ∙ 8 = 0,03125 . Assim, teremos:

∴ y = 2 + 0,03125 ∙ ( x - 16 )

Passo 3

Temos, então, essa equação: y = 2 + 0,03125 ∙ ( x - 16 ) . É nela que vamos inserir o valor x = 13 , ao invés de aplicar f 13 = 13 4 , que não temos como calcular tão facilmente. Teremos então:

y = 2 + 0,03125 ∙ ( 13 - 16 )

y = 2 - 0,03125 ∙ 3

∴ y ≅ 1,906

Jogando esse valor em uma calculadora e elevando-o à quarta potência, confirmamos que é um valor muito próximo a 13 4 .

Resposta

(c) ∴ y ≅ 1,906

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