Enunciado

Calcular um valor aproximado para as seguintes raízes, usando diferencial.

(a) 50 ;(b) 63,5 3 ;(c) 13 4

Passo 1

Para calcular esses valores aproximados, vamos partir de pontos próximos o suficiente dos valores que temos, cujos resultados nós conhecemos. Como assim?

Pra 50 , o valor mais próximo que conhecemos exatamente é 49 = 7 .

Pra 63,5 3 , conhecemos exatamente 64 3 = 4 .

Pra 13 4 , conhecemos exatamente 16 4 = 2 .

Passo 2

(a)Vamos tirar uma raiz quadrada. Estamos então trabalhando com uma função do tipo f x = x .

Pra determinar o valor f ( x ) = 50 , vamos trabalhar com a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto x = 49 . A equação tem o seguinte formato:

y = f 49 + f ' ( 49 ) ∙ ( x - 49 )

Temos que a derivada da nossa função f x = x vale f ' x = 1 2 x . Aplicada no ponto x = 49 , temos f ' 49 = 1 2 49 ≅ 0,071 . Assim, teremos:

∴ y = 7 + 0,071 ∙ ( x - 49 )

Passo 3

Temos, então, essa equação: y = 7 + 0,071 ∙ ( x - 49 ) . É nela que vamos inserir o valor x = 50 , ao invés de aplicar f 50 = 50 , que não temos como calcular tão facilmente. Teremos então:

y = 7 + 0,071 ∙ ( 50 - 49 )

y = 7 + 0,071 ∙ 1

∴ y = 7,071

Jogando esse valor em uma calculadora e elevando-o ao quadrado, confirmamos que é um valor muito próximo a 50 .

Resposta

(a) ∴ y = 7,071

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26.Encontrar ∆ y - d y das funções dadas.a) y = 3 x 2 - x + 1 b) y = 2 x c) y = x + 1 2 x - 1
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.Se uma função f for derivável em x = 0 , então f será continua em x = 0 .
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.Se uma função f for contínua em x = 0 , então f será derivável em x = 0 .
Suponha que uma função f seja diferenciável em x 0 e que f ' x 00 . Prove que existe um intervalo aberto contendo x 0 , tal que, se x 1 e x 2 são dois pontos quaisquer nesse intervalo, com x 1x 0x 2 ,
Suponha que uma função f seja diferenciável em x 0 e defina g x = f m x + b , onde m e b são constantes. Prove que, se x 1 é um ponto tal que m x 1 + b = x 0 , então g x é diferenciável em x 1 e g ' x