Investigar as integrais impróprias.

Passo 1

Uma integral representa a área sob a curva da dada função que está como o integrando. A integral imprópria possui o mesmo ideal, no entanto ela é representada por uma área indefinida, visto que o intervalo de integração possui pelo menos um valor em que a função não está definida.

Por conta disso, a integral não pode ser resolvida diretamente, necessitando da aplicação de um limite e da substituição do intervalo de integração por um intervalo que conterá uma nova variável, esta que irá tender ao valor para o qual a função não é definida.

Quando o valor no qual isso ocorre é um número inteiro, deve-se verificar os limites laterais a esse ponto para verificar se o limite existe ou não.

Passo 2

Dito isso, seguindo as dicas dadas tem-se:

I = ∫ 1 ∞ d x x - 1 3 = l i m a → 1 + ∫ a 2 d x x - 1 3 + l i m b → ∞ ∫ 2 b d x x - 1 3

Aplicando o método da substituição simples, podemos dizer que u = x - 1 , tal que d u = d x e a integral se dará por:

∫ d u u 3 = - 1 2 u 2

Retornando à variável original:

I = l i m a → 1 + - 1 2 x - 1 2 | 2 a + l i m b → ∞ - 1 2 x - 1 2 | b 2

Analisando apenas um dos limites e substituindo os limites de integração:

- l i m a → 1 + 1 2 2 - 1 2 - 1 2 a - 1 2 = - 1 2 - ∞ = + ∞

Passo 3

Ainda, dependendo do resultado da integral imprópria é possível tirar duas conclusões sobre o seu comportamento: caso o resultado seja um número inteiro, então o limite existe e a integral converge (é convergente); caso contrário e ela resulte em ± ∞ , o limite não existe e a integral diverge (é divergente).

Para este caso, como um dos limites não existe, a integral é divergente.

Resposta

A integral é divergente.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados