Enunciado

Investigar as integrais impróprias.

Passo 1

Uma integral representa a área sob a curva da dada função que está como o integrando. A integral imprópria possui o mesmo ideal, no entanto ela é representada por uma área indefinida, visto que o intervalo de integração possui pelo menos um valor em que a função não está definida.

Por conta disso, a integral não pode ser resolvida diretamente, necessitando da aplicação de um limite e da substituição do intervalo de integração por um intervalo que conterá uma nova variável, esta que irá tender ao valor para o qual a função não é definida.

Quando o valor no qual isso ocorre é um número inteiro, deve-se verificar os limites laterais a esse ponto para verificar se o limite existe ou não.

Passo 2

Dito isso, seguindo as dicas dadas tem-se:

I = int_1^(oo) (d x)/((x - 1)^3) = underset(a -> 1^+)(l i m) int_a^2 (d x)/((x - 1)^3) + underset(b -> oo)(l i m) int_2^b (d x)/((x - 1)^3)

Aplicando o método da substituição simples, podemos dizer que u = x - 1 , tal que d u = d x e a integral se dará por:

int (d u)/(u^3) = - (1)/(2 u^2)

Retornando à variável original:

I = underset(a -> 1^+)(l i m) [- (1)/(2 (x - 1)^2)] | [[2],[a]] + underset(b -> oo)(l i m) [- (1)/(2 (x - 1)^2)] | [[b],[2]]

Analisando apenas um dos limites e substituindo os limites de integração:

- underset(a -> 1^+)(l i m) [(1)/(2 (2 - 1)^2) - (1)/(2 (a - 1)^2)] = - [(1)/(2) - oo] = + oo

Passo 3

Ainda, dependendo do resultado da integral imprópria é possível tirar duas conclusões sobre o seu comportamento: caso o resultado seja um número inteiro, então o limite existe e a integral converge (é convergente); caso contrário e ela resulte em +- oo , o limite não existe e a integral diverge (é divergente).

Para este caso, como um dos limites não existe, a integral é divergente.

Resposta

A integral é divergente.

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