Enunciado

O gráfico de f é dado. Diga, explicando quais, os números em que f não é diferenciável

Passo 1

Olá, meu amigo. Tudo bem? Espero que você esteja pronto e animado para darmos início a mais uma resolução.

Aqui a gente tem um gráfico de uma função, e nos é perguntando em quais pontos a função não é diferenciável.

Para identificar os pontos onde uma função não é diferenciável apenas observando seu gráfico, você precisa procurar por características específicas que indicam falta de continuidade ou comportamento irregular, como mostrados e explicados abaixo:

Descontinuidades: Pontos onde a função não é contínua indicam falta de diferenciabilidade nesse ponto.

Pontos angulosos (Cúspides): Em alguns pontos, a função pode formar uma cúspide ou uma espécie de "ponta" no gráfico. Isso geralmente ocorre quando há uma mudança súbita na direção da curva.

Pontos de quebra (Ligação de Tângentes): Em alguns casos, a função pode mudar de uma tangente para outra de forma abrupta. Isso indica falta de suavidade na função e, portanto, falta de diferenciabilidade nesse ponto.

Picos ou vales acentuados: Se a função tem picos ou vales muito íngremes, isso pode indicar que a função não é diferenciável nesses pontos, especialmente se a inclinação muda abruptamente.

Pontos de tangência vertical: Quando a inclinação da função é vertical em algum ponto, a função não é diferenciável nesse ponto.

Assíntotas verticais: Se a função se aproxima de uma linha vertical sem nunca cruzá-la, pode indicar uma falta de diferenciabilidade naquele ponto.

Passo 2

Dito tudo isso, a função f não é diferenciável nos seguintes números:

(   x   =   0   ) porque f não é contínua lá.

(   x   =   3   ) porque o gráfico de f tem um canto em (   x   =   3   ) . Para um gráfico ser diferenciável, a curva deve ser suave.

Resposta

x = 0   e   x = 3

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Suponha f definida em R , derivável em 0 e f 0 = 0 . Prove que existe g definida em R , contínua em 0 , tal que f x = xg x para todo x .
Seja f : R → R uma função tal que quaisquer que sejam x e t f x - f t ≤ x - t 2 Calcule f ' x .
Sejam f e g definidas em R , com g contínua em 0 , e tais que, para todo x , f x = xg x . Mostre que f é derivável em 0 .
Suponha f derivável no intervalo I . Prove que se f for estritamente crescente em I , então f ' x ≥ 0 em I .
Suponha f derivável em a ,b e tal que f ' a ∙ f ' b0 . Prove que existe p em ] a ,b [ tal que f x ≤ f p para todo x em a ,b ou f x ≥ f p para todo x em a ,b . Interprete geometricamente.