Calcular o volume da parte da esfera , que está entre os planos e .
Passo 1
A parte da esfera é delimitada superiormente por e inferiormente por . Temos que quando e , que está acima do plano limite . Podemos encontrar o volume dessa região adotando o sistema de coordenadas adequado. O volume total da região pode ser calculado por:
Passo 2
Nosso problema pode ficar mais simples se adotarmos coordenadas cilíndricas. Pra isso, vamos analisar as equações que o enunciado nos forneceu. Temos então:
E também que:
Analisando a expressão da esfera, temos:
Ou seja:
Nossos limites de integração para esse caso serão:
Passo 3
Agora para o nosso próximo passo, devemos encontrar o elemento de volume que iremos integrar. Como estamos lidado com coordenadas cilíndricas, temos:
Dessa forma, teremos:
Integrando para :
Resolvendo as integrais, temos:
Aplicando os limites: