Calcular o volume da parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 , que está entre os planos z = 0 e z = 2 .

Passo 1

A parte da esfera é delimitada superiormente por z 2 = 9 - x 2 - y 2 e inferiormente por z = 0 . Temos que quando x = 0 e y = 0 , z = 3 que está acima do plano limite z = 2 . Podemos encontrar o volume dessa região adotando o sistema de coordenadas adequado. O volume total da região pode ser calculado por:

V = ∭ E d V

Passo 2

Nosso problema pode ficar mais simples se adotarmos coordenadas cilíndricas. Pra isso, vamos analisar as equações que o enunciado nos forneceu. Temos então:

x = r c o s θ

y = r s e n θ

E também que:

x 2 + y 2 = r 2

Analisando a expressão da esfera, temos:

x 2 + y 2 + z 2 = 9

Ou seja:

r 2 + z 2 = 9

Nossos limites de integração para esse caso serão:

0 ≤ r ≤ 9 - z 2

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ z ≤ 2

Passo 3

Agora para o nosso próximo passo, devemos encontrar o elemento de volume que iremos integrar. Como estamos lidado com coordenadas cilíndricas, temos:

d V = r   d r   d θ   d z

Dessa forma, teremos:

V = ∫ 0 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 9 - z 2 r   d r   d z   d θ

Integrando para r :

∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 2 2 0 9 - z 2 d z   d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 9 - z 2 2   d z   d θ

Resolvendo as integrais, temos:

∫ 0 2 π 9 z 2 - z 3 6 0 2   d θ = ∫ 0 2 π 9 - 8 6   d θ  

Aplicando os limites:

V = 2 π ⋅ 46 6

V = 46 π 3

Resposta

V = 46 π 3

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