Enunciado

Calcular o volume da parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 , que está entre os planos z = 0 e z = 2 .

Passo 1

A parte da esfera é delimitada superiormente por z 2 = 9 - x 2 - y 2 e inferiormente por z = 0 . Temos que quando x = 0 e y = 0 , z = 3 que está acima do plano limite z = 2 . Desse modo, devemos descobrir o volume da parte acima do plano z = 2 e subtraí-la do volume total da parte da esfera.

Assim, a equação do volume superior fica:

V S = ∬ ( 9 - x 2 - y 2 - 2 ) d x d y

Passo 2

Agora, transformando para coordenadas polares, temos:

z 2 = 9 - x 2 - y 2

z = 2 → z 2 = 4

4 = 9 - x 2 - y 2

x 2 + y 2 = 5

Então:

r 2 = 5 → r = 5

Desse modo, temos:

0 ≤ r ≤ 5

0 ≤ θ ≤ 2 π

V S = ∬ ( 9 - x 2 - y 2 - 2 ) d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 5 ( 9 - r 2 - 2 ) ⋅ r d r d θ

Passo 3

Integrando para r :

∫ 0 5 [ 9 - r 2 1 2 ⋅ r - 2 r ]   d r = - 1 3 9 - r 2 3 2 - r 2

Aplicando os limites:

- 1 3 9 - 5 3 2 + 1 3 9 - 0 3 2 - 5 - 0 = - 1 3 ⋅ 4 3 2 + 1 3 ⋅ 9 3 2 - 5 = 4 3

Passo 4

Integrando para θ :

∫ 0 2 π 4 3 d θ = 4 3 θ

Aplicando os limites:

2 π - 0 ⋅ 4 3 = 8 3 π

O volume superior é igual a 8 3 π .

Passo 5

Agora calcularemos o volume total:

0 ≤ r ≤ 3

0 ≤ θ ≤ 2 π

V T = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 ( 9 - r 2 ) ⋅ r d r d θ

Passo 6

Integrando para r :

∫ 0 3 [ 9 - r 2 1 2 ⋅ r ]   d r = - 1 3 9 - r 2 3 2

Aplicando os limites:

- 1 3 9 - 9 3 2 + 1 3 9 - 0 3 2 = 1 3 ⋅ 9 3 2 = 9

Passo 7

Integrando para θ :

∫ 0 2 π 9 d θ = 9 θ

Aplicando os limites:

2 π - 0 ⋅ 9 = 18 π

O volume total é igual a 18 π .

Passo 8

Como queremos o volume da parte da esfera que está entre os planos z = 0 e z = 2 .

V = V T - V S

V = 18 π - 8 3 π = 46 3 π

Resposta

46 3 π   u . v .

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