Enunciado

Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas.

7 .   z = 9 - x 2 - y 2 e z = x 2 + y 2

Passo 1

O sólido é delimitado superiormente por z = 9 - x 2 - y 2 , inferiormente por z = x 2 + y 2 , considerando a rotação num plano x y z temos:

x 2 + y 2 ≤ z ≤ 9 - x 2 - y 2

Teremos que utilizar a transformação para coordenadas polares, mas primeiramente vamos descobrir qual é o raio máximo que podemos alcançar igualando o máximo e mínimo de z :

x 2 + y 2 = 9 - x 2 - y 2

2 x 2 + y 2 = 9

x 2 + y 2 = 9 2

r 2 = 9 2

r = 3 2

Assim:

0 ≤ r ≤ 3 2

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Para adotarmos r = 3 2 , temos que adotar o volume como:

V = ∬ ( 9 - x 2 - y 2 - x 2 - y 2 ) d x d y = ∬ 9 - 2 x 2 + y 2 d x d y

Transformando em coordenadas polares, temos:

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 2     9 - 2 r 2 ⋅ r d r d θ

Passo 3

Integrando para r :

∫ 0 3 2     9 r - 2 r 3 d r = 9 r 2 2 - r 4 2

Aplicando os limites:

9 2 - 0 ⋅ 9 2 - 81 4 - 0 ⋅ 1 2 = 81 4 - 81 8 = 81 8  

Passo 4

Integrando para θ :

∫ 0 2 π 81 8 d θ = 81 8 θ

Aplicando os limites:

2 π - 0 ⋅ 81 8 = 81 π 4

Resposta

81 π 4   u . v .

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Encontre o volume do sólido limitado pela superfície z = x 2 + x y 2 e os planos z = 0 , x = ± 1 , y = 0 e y = ± 2 .
Represente graficamente o sólido que se encontra entre a superfície z = 2 x y / ( x 2 + 1 ) e o plano z = x + 2 y e é limitada pelos planos x = 0 , x = 2 , y = 0 e y = 4 . Então encontre o volume.
Encontre a área da superfície.A parte do plano 6 x + 4 y + 2 z = 1 que cruza dentro do cilindro x 2 + y 2 = 25 .
Encontre a área da superfície.A parte do plano 2 y + 4 z - x 2 = 5 que cruza acima do triangulo com vértices 0,0 ,2,0 e2,4 .
Encontre a área da superfície.A parte do plano 5 x + 3 y - z + 6 = 0 que cruza acima do retângulo 1,4 × 2,6 .