Enunciado

Calcular o volume do no 1º octante, delimitado por z = 1 - 2 x - 3 y e os planos coordenados.

Passo 1

O sólido é delimitado superiormente por z = 1 - 2 x - 3 y e inferiormente por z = 0 .

Temos o volume como:

V = ∬ ( 1 - 2 x - 3 y ) d x d y

Como temos a limitação dos planos coordenados, o mínimo se dá como 0, e podemos descobrir o máximo possível para x e y .

Primeiramente, faremos z = 0 para obtermos x em função de y :

0 = 1 - 2 x - 3 y → 2 x = 1 - 3 y → x = 1 - 3 y 2

E agora adotaremos x = 0 para obtermos y :

0 = 1 - 3 y 2 → 0 = 1 - 3 y → y = 1 3

Desse modo, temos:

0 ≤ x ≤ 1 - 3 y 2

0 ≤ y ≤ 1 3

Então:

V = ∫ 0 1 3 ∫ 0 1 - 3 y 2 ( 1 - 2 x - 3 y ) d x d y

Passo 2

Integrando para x :

∫ 0 1 - 3 y 2 1 - 2 x - 3 y d x = x - x 2 - 3 y x

Aplicando os limites:

1 - 3 y 2 - 0 - 1 - 3 y 2 4 - 0 - 3 y ⋅ 1 - 3 y 2 - 0 =

1 - 3 y - 3 y + 9 y 2 2 - 1 - 3 y - 3 y + 9 y 2 4 = 1 - 3 y - 3 y + 9 y 2 4 = 1 - 3 y 2 4

Passo 3

Integrando para y :

∫ 0 1 3 ( 1 - 3 y 2 4 d y = - 1 - 3 y 3 36

Aplicando os limites:

1 - 3 ⋅ 1 3 3 - 1 - 3 ⋅ 0 3 ⋅ - 1 36 = 0 - 1 ⋅ - 1 36 = 1 36

Resposta

1 3 6   u . v .

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