Enunciado

Calcular o volume do tetraedro da Figura 8.32.

  • Entre os planos z = 1 e z = 2 ;
  • Acima do plano z = 1 ;
  • Abaixo do plano z = 2 .

Passo 1

Então galera, já sabemos que a equação do plano é:

x 2 + y 1 + z 3 = 1

Também já sabemos que z é limitada pelo um e pelo dois:

1 ≤ z ≤ 2

Analisando o y nós vemos que:

y = 1 - x 2 - z 3

Então:

0 ≤ y ≤ 1 - x 2 - z 3

Agora nós precisamos relaciona o x com z, quando y   =   0 :

x = 2 - 2 z 3

Concluindo:

0 ≤ x ≤ 2 - 2 z 3

Como fica nossa integral ? Fácil !!

= ∫ 1 2 ∫ 0 2 - 2 z 3 ∫ 0 1 - x 2 - z 3 d y d x d z  

Começando pela primeira integral:

∫ 0 1 - x 2 - z 3 d y = y = 1 - x 2 - z 3

Então:

= ∫ 1 2 ∫ 0 2 - 2 z 3 1 - x 2 - z 3 d x d z

Agora vamos resolver a segunda integral:

∫ 0 2 - 2 z 3 1 - x 2 - z 3 d x = x - x 2 4 - z 3 x

Aplicando o intervalo:

= 2 - 2 z 3 - 2 - 2 z 3 2 4 - z 3 ( 2 - 2 z 3 )

= 2 - 2 z 3 - 4 - 8 z 3 + 4 z 2 9 4 - 2 z 3 + 2 z 2 9

= 2 - 2 z 3 - 1 + 2 z 3 - z 2 9 - 2 z 3 + 2 z 2 9

= 1 - 2 z 3 + z 2 9

Na última integral:

= ∫ 1 2 1 - 2 z 3 + z 2 9 d z

= z - 2 3 z 2 2 + z 3 27

No intervalo:

= ( 2 - 1 ) - 1 3 ( 2 2 - 1 2 ) + ( 2 3 - 1 3 ) 27

= 1 - 1 + 7 27

= 7 27

Passo 2

No segundo tópico nós queremos o volume da parte acima do plano z = 1 , ou melhor:

1 ≤ z ≤ 3

Então a integral ficará:

= ∫ 1 3 ∫ 0 2 - 2 z 3 ∫ 0 1 - x 2 - z 3 d y d x d z  

Como nós só mudamos o intervalo da última integral, as outras apresentam o mesmo resultado:

= ∫ 1 3 1 - 2 z 3 + z 2 9 d z

= z - 2 3 z 2 2 + z 3 27

No intervalo:

= ( 3 - 1 ) - 1 3 ( 3 2 - 1 2 ) + ( 3 3 - 1 3 ) 27

= 2 - 8 3 + 26 27

= 54 - 72 + 26 27

= 8 27

Passo 3

No terceiro tópico nós queremos o volume da parte abaixo do plano z = 2 , ou melhor:

0 ≤ z ≤ 2

Então a integral ficará:

= ∫ 0 2 ∫ 0 2 - 2 z 3 ∫ 0 1 - x 2 - z 3 d y d x d z  

Como nós só mudamos o intervalo da última integral, as outras apresentam o mesmo resultado:

= ∫ 0 2 1 - 2 z 3 + z 2 9 d z

= z - 2 3 z 2 2 + z 3 27

No intervalo:

= ( 2 - 0 ) - 1 3 ( 2 2 - 0 2 ) + ( 2 3 - 0 3 ) 27

= 2 - 4 3 + 8 27

= 54 - 36 + 8 27

= 26 27

Finalizamos mais umaa !!

Resposta

7 27         8 27           26 27  

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