Enunciado

Calcular

8. int ( (3)/(sqrt(y)) ) d x

Passo 1

Para começar vamos recordar de um conceito de radiciação que diz que qualquer raiz pode ser escrita como um exponencial, nesse caso é possível escrever a integral proposta da seguinte forma:

I = int ( (3)/(y^((1)/(2))) ) d y

Depois de escrever a raiz em forma de exponencial, passamos ao próximo passo.

Passo 2

Depois de verificar qual é a variável do problema, retiramos qualquer constante que acompanhar nossa variável.

Ex: int ( a y ) d y = a int (y) d y

Nesse caso a integral que nos foi dada pode ser escrita então da seguinte maneira: I = int ( (3)/(y^((1)/(2))) ) d y = 3 int ( (1)/(y^((1)/(2))) ) d y

Agora podemos escrever a função dentro do parênteses apenas em termos de “y” e seu expoente. Essa propriedade pode ser escrita da seguinte forma:

(1)/(y^n) = y^(- n)

Onde “n” é qualquer expoente de “y” inclusive uma fração.

Passo 3

Com a união dos passos acima chega-se a seguinte integral que é igual a que foi proposta:

I = 3 int ( (1)/(y^((1)/(2))) ) d y

I = 3 int ( y^(- (1)/(2)) ) d y

Aplicando a regra de integral temos o seguinte resultado:

I = 3 ((y)/(- (1)/(2) + 1)^(- (1)/(2) + 1)) + c

I = 3 ((y)/((1)/(2))^((1)/(2))) + c

Não se esqueçam de que o resultado da integral sempre vem acompanhado da soma de uma constante, ela serve pra diferenciar a sua função das infinitas que são paralelas a ela.

Resposta

I = 6 y^((1)/(2)) + c

Pronto, chegamos ao resultado final.

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