14. ∫ x 4 5 - x 2 d x

Passo 1

Olhando para integral observamos que existe um “ x 4 " que multiplica uma subtração, nesse caso aplica-se uma distributiva de modo que a integral assuma uma forma mais fácil de ser trabalhada.

I = ∫ x 4 ( 5 - x 2 )   d x

I = ∫ ( 5 x 4 - x 6 )   d x

Agora podemos aplicar os próximos passos.

Passo 2

Para essa integral utilizaremos a propriedade de integração que nos diz que, a integral de uma soma (ou diferença) é igual soma (ou diferença) das integrais. De modo que podemos levar a integral que nos foi dada a uma forma que seja mais fácil trabalhar, logo encontramos a seguinte forma para integral:

I = [ ∫ 5 x 4 d x ] - [ ∫ ( x 6 ) d x ]

Agora que a inegral tomou uma forma mais conhecida passamos ao próximo passo.

Passo 3

Depois de identificar qual é a variável do problema, retiramos qualquer constante que estiver dentro da integral e estiver multiplicando (ou dividindo) nossa variável.

Ex: ∫ ( a x )   d x = a ∫ x d x .

De modo que a integral pode ser ainda mais simplificada:

I = [ 5 ∫ x 4 d x ] + [ ∫ x 6 d x ]

Passo 4

Agora para resolver precisamos relembrar que qualquer integral polinomial de uma variável qualquer pode pode ser resolvida da seguinte maneira:

I = ∫ ( x n ) d x =   x n + 1 n + 1 + c      

Onde “n” é o expoente da variável.

Passo 5

Agora que temos nossa integral preparada e sabemos o método para integrar uma função polinomial podemos desenvolve-la.

I = [ 5 ∫ x 4 d x ] - [ ∫ x 6 d x ]

I = 5 x 4 + 1 4 + 1 - 2   x 6 + 1 6 + 1 + c

I = 5 x 5 5 - x 7 7 + c

OBS: Não se esqueçam de colocar o resultado da integral somado a uma constante, é ela que vai diferenciar sua função de uma infinidade de outras que são paralelas a ela.

Resposta

Nossa resposta final é:

I = x 5 - x 7 7 + c

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