Enunciado

14. int x^4 (5 - 2 x^2) d x

Passo 1

Olhando para integral observamos que existe um “ x^4 " que multiplica uma subtração, nesse caso aplica-se uma distributiva de modo que a integral assuma uma forma mais fácil de ser trabalhada.

I = int x^4 ( 5 - 2 x^2 ) d x

I = int ( 5 x^4 - 2 x^6 ) d x

Agora podemos aplicar os próximos passos.

Passo 2

Para essa integral utilizaremos a propriedade de integração que nos diz que, a integral de uma soma (ou diferença) é igual soma (ou diferença) das integrais. De modo que podemos levar a integral que nos foi dada a uma forma que seja mais fácil trabalhar, logo encontramos a seguinte forma para integral:

I = [ int (5 x^4) d x ] - [ int ( 2 x^6 ) d x ]

Agora que a inegral tomou uma forma mais conhecida passamos ao próximo passo.

Passo 3

Depois de identificar qual é a variável do problema, retiramos qualquer constante que estiver dentro da integral e estiver multiplicando (ou dividindo) nossa variável.

Ex: int ( a x ) d x = a int (x) d x .

De modo que a integral pode ser ainda mais simplificada:

I = [ 5 int (x^4) d x ] + [ 2 int (x^6) d x ]

Passo 4

Agora para resolver precisamos relembrar que qualquer integral polinomial de uma variável qualquer pode pode ser resolvida da seguinte maneira:

I = int ( x^n ) d x = (x)/(n + 1)^(n + 1) + c

Onde “n” é o expoente da variável.

Passo 5

Agora que temos nossa integral preparada e sabemos o método para integrar uma função polinomial podemos desenvolve-la.

I = [ 5 int (x^4) d x ] - [ 2 int (x^6) d x ]

I = [5 ((x)/(4 + 1)^(4 + 1))] - [2 ((x^(6 + 1))/(6 + 1))] + c

I = ((5 x)/(5)^5) - (2 x^7)/(7) + c

OBS: Não se esqueçam de colocar o resultado da integral somado a uma constante, é ela que vai diferenciar sua função de uma infinidade de outras que são paralelas a ela.

Resposta

Nossa resposta final é:

I = x^5 - (2 x^7)/(7) + c

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