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Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - Capítulo 11.7 - Ex. 1j

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Calcule.

∫ 0 1 x e x 2 d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = x 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 2 x d x → d u 2 = x d x

E temos que os novos limites de integração vão ser:

x = 0 → u = 0 2 = 0

x = 1 → u = 1 2 = 1

Vamos agora fazer a substituição:

∫ 0 1 x e x 2 d x = ∫ 0 1 e u 2 d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ e u 2 d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ e x d x = e x + C

Agora é só aplicar:

∫ e u 2 d u = 1 2 ∫ e u d u = 1 2 e u + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Ficamos então com:

∫ 0 1 e u 2 d u 1 2 e u 0 1 = 1 2 e 1 - 1 2 e 0 = e 2 - 1 2

Resposta

∫ 0 1 x e x 2 d x = e 2 - 1 2

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