8. Calcule

h )   ∫ 2 x - 3 1 + 4 x 2 d x

Passo 1

Para facilitar, precisamos separar essa integral em duas partes

∫ 2 x - 3 1 + 4 x 2 d x =   ∫ 2 x 1 + 4 x 2 - 3 1 + 4 x 2   d x = ∫ 2 x 1 + 4 x 2 d x - ∫ 3 1 + 4 x 2 d x  

Passo 2

Vamos começar pela primeira integral

∫ 2 x 1 + 4 x 2 d x = 2 ∫ x 1 + 4 x 2 d x

Podemos ver que se derivarmos o denominador, teremos algo parecido com o numerador, faremos então

u = 1 + 4 x 2 ⇒ d u = 8 x   d x   ⇒ x   d x = d u 8

Substituindo na integral,

2 ∫ x 1 + 4 x 2 d x = 2 ∫ 1 u d u 8 = 1 4 ∫ 1 u d u

Lembrando que ∫ 1 x d x = l n   x + k

1 4 ∫ 1 u d u = 1 4 ln ⁡ u + k =   1 4 ln ⁡ 1 + 4 x 2 + k  

Como 1 + 4 x 2 ≥ 0 , podemos tirar o módulo

1 4 ln ⁡ 1 + 4 x 2 + k = 1 4 ln ⁡ ( 1 + 4 x 2 ) + k

Passo 3

Para a outra integral, podemos ver que ela é parecida com ∫ 1 1 + x 2 d x =   tan - 1 ⁡ x + k . Vamos arrumar ela de forma a ficar ainda mais parecida

  ∫ 3 1 + 4 x 2 d x = 3 ∫ 1 1 + 4 x 2 d x = 3 ∫ 1 1 + ( 2 x ) 2 d x

Para melhorar, faremos u = 2 x   ⇒ d u = 2   d x ⇒ d x = d u 2 . Substituindo:

3 ∫ 1 1 + 2 x 2 d x = 3 ∫ 1 1 + u 2 d u 2 = 3 2 ∫ 1 1 + u 2 d u = 3 2 tan - 1 ⁡ u + k = 3 2 tan - 1 ⁡ 2 x + k  

Passo 4

Substituindo os valores encontrados

∫ 2 x 1 + 4 x 2 d x - ∫ 3 1 + 4 x 2 d x =   1 4 ln ⁡ 1 + 4 x 2 - 3 2 tan - 1 ⁡ 2 x + k    

Resposta

Portanto,

∫ 2 x - 3 1 + 4 x 2 d x =   1 4 ln ⁡ 1 + 4 x 2 - 3 2 tan - 1 ⁡ 2 x + k      

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