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Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - Capítulo 7.7 - Ex. 12j

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Calcule f ' x .

f x = e x x + 1

Passo 1

Para calcular essa derivada vamos usar algumas regras, de primeira dá pra perceber que vamos usar a regra da divisão:

h x g x ' = h ' x g x - h x g ' x g x 2

Temos que:

h x = e x

e

g x = x + 1

Vamos agora só montar na fórmula:

f ' x = e x x + 1 ' = e x ' ⋅ x + 1 - e x ⋅ x + 1 ' x + 1 2

Passo 2

Vamos usar a regra da função constante, do polinômio e da função exponencial:

c ' = 0

x n ' = n x n - 1

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a da função exponencial:

h ' x = e x ' = e x ⋅ x ' = e x ⋅ x 1 - 1 = e x ⋅ x 0 = e x ⋅ 1 = e x

Com g ' ( x ) vamos usar regra da função constante e do polinômio:

g ' x = x + 1 ' = x 1 - 1 + 0 = x 0 = 1

Passo 4

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f ' x = e x x + 1 ' = e x ' ⋅ x + 1 - e x ⋅ x + 1 ' x + 1 2 = e x ⋅ x + 1 - e x ⋅ 1 x + 1 2 = e x ⋅ x + 1 - 1 x + 1 2 = e x x x + 1 2

Resposta

f ' ( x ) = e x x x + 1 2

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