Enunciado

Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.

f x = 3 + x 1 - 3 x

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui queremos encontrar a derivada da função dada usando a definição, e também queremos encontrar os domínios da derivada e da função, o domínio são para quais valores de x aquela função existe.

Vamos lá, para calcular f ' ( x ) pela definição vamos ter que relembrar a fórmula:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Passo 2

Ela parece complicada, mas só parece, temos que substituir com a função que queremos, vamos lá:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

= lim h → 0 ⁡ 3 + x + h 1 - 3 x + h - 3 + x 1 - 3 x h

Pronto, agora para resolver esse limite vamos ter que dá uma manipulada nele, vamos lá!!

Passo 3

Vamos destrinchar esse numerador e ver se fica simples resolver, vamos devagar pra não cometer nenhum erro:

f ' x = lim h → 0 ⁡ 3 + x + h 1 - 3 x + h - 3 + x 1 - 3 x h

Fazendo a distributiva:

= lim h → 0 ⁡ 3 + x + h 1 - 3 x - 3 h - 3 + x 1 - 3 x h

Organizando a função:

= lim h → 0 ⁡ 3 + x + h 1 - 3 x - 3 h - 3 + x 1 - 3 x ∙ 1 h

= lim h → 0 ⁡ 3 + x + h h 1 - 3 x - 3 h - 1 h ∙ 3 + x 1 - 3 x

Agora calma, não se assuste, vamos fazer algumas manipulações e vai da tudo certo. Vamos tirar o mínimo comum do numerador, vamos lá, com calma:

f ' x = lim h → 0 ⁡ 3 + x + h h 1 - 3 x - 3 h - 1 h ∙ 3 + x 1 - 3 x

Realizando o mmc:

= lim h → 0 ⁡ 3 + x + h 1 - 3 x - 1 - 3 x - 3 h 3 + x h 1 - 3 x - 3 h 1 - 3 x

Agora fazendo as distributivas:

= lim h → 0 ⁡ 3 - 9 x + x - 3 x 2 + h - 3 x h - 3 + x - 9 x - 3 x 2 - 9 h - 3 x h h 1 - 3 x - 3 h 1 - 3 x

Simplificando os termos:

= lim h → 0 ⁡ 3 - 8 x - 3 x 2 + h - 3 x h - 3 + 8 x + 3 x 2 + 9 h + 3 x h h 1 - 3 x - 3 h 1 - 3 x

= lim h → 0 ⁡ 10 h h 1 - 3 x - 3 h 1 - 3 x

= lim h → 0 ⁡ 10 1 - 3 x - 3 h 1 - 3 x

Pronto, chegamos em uma expressão simples, agora é só resolver aplicadando o valor que h tende:

f ' x = lim h → 0 ⁡ 10 1 - 3 x - 3 h 1 - 3 x = 10 1 - 3 x - 3.0 1 - 3 x = 10 1 - 3 x 2

Passo 4

Agora vamos ver os domínios das duas funções:

Com a função f x = 3 + x 1 - 3 x devemos nos preocupar com o denominador, que não pode ser igual a 0 , assim devemos ter que

1 - 3 x ≠ 0 → x ≠ 1 3

então o domínio é R - 1 3 .

Com a derivada da função, f ' x = 10 1 - 3 x 2 temos a mesma restrição, assim também o mesmo domínio R - 1 3 .

Resposta

f ' x = 10 1 - 3 x 2

D =   R - 1 3

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