Enunciado

Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.

g x = 1 + 2 x

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui queremos encontrar a derivada da função dada usando a definição, e também queremos encontrar os domínios da derivada e da função, o domínio são para quais valores de x aquela função existe.

Vamos lá, para calcular g ' ( x ) pela definição vamos ter que relembrar a fórmula:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Passo 2

Ela parece complicada, mas só parece, temos que substituir com a função que queremos, vamos lá:

g ' x = lim h → 0 ⁡ g x + h - g x h

= lim h → 0 ⁡ 1 + 2 x + h - 1 + 2 x h

Pronto, agora para resolver esse limite vamos ter que dá uma manipulada nele, vamos lá!!

Passo 3

Vamos destrinchar esse numerador e ver se fica simples resolver, vamos devagar pra não cometer nenhum erro:

g ' x = lim h → 0 ⁡ 1 + 2 x + 2 h - 1 + 2 x h

Agora calma, não se assuste, vamos fazer algumas manipulações e vai da tudo certo. Vamos multiplicar a expresão pelo conjugado do numerador, já que temos raíz alí no meio, vamos lá, com calma:

g ' x = lim h → 0 ⁡ 1 + 2 x + 2 h - 1 + 2 x h

Multiplicando e divindo por 1 + 2 x + 2 h + 1 + 2 x , para que possamos simplificar posteriormente:

= lim h → 0 ⁡ 1 + 2 x + 2 h - 1 + 2 x h ∙ 1 + 2 x + 2 h + 1 + 2 x 1 + 2 x + 2 h + 1 + 2 x

Realizando os produtos:

= lim h → 0 ⁡ 1 + 2 x + 2 h + 1 + 2 x + 2 h ∙ 1 + 2 x - 1 + 2 x + 2 h ∙ 1 + 2 x - 1 - 2 x h 1 + 2 x + 2 h + 1 + 2 x

Simplificando :

= lim h → 0 ⁡ 2 h h 1 + 2 x + 2 h + 1 + 2 x = lim h → 0 ⁡ 2 1 + 2 x + 2 h + 1 + 2 x

Pronto, chegamos em uma expressão simples, agora é só resolver aplicadando o valor que h tende:

g ' x = lim h → 0 ⁡ 2 1 + 2 x + 2 h + 1 + 2 x

= 2 1 + 2 x + 2.0 + 1 + 2 x

= 2 1 + 2 x + 1 + 2 x

= 2 2 1 + 2 x

= 1 1 + 2 x

Passo 4

Agora vamos ver os domínios das duas funções:

A função g x = 1 + 2 x tem uma raíz, então a expressão dentro dela deve ser maior que 0 , ou igual a 0 , assim devemos ter que

1 + 2 x ≥ 0 → x ≥ - 1 2

então o domínio é - 1 2 , ∞ .

Já com a derivada da função, g ' x = 1 1 + 2 x , temos o domínio em - 1 2 , ∞ , aqui além de também termos a raíz tendo a mesma limitação de f ( x ) , temos x no denominador, o que nos impede do valor x assumir - 1 2 , pois isso nos faria ter um denominador igual a 0 .

Resposta

g ' x = 1 1 + 2 x

Domínio de g = - 1 2 , ∞

Domínio de f ' = - 1 2 , ∞

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