Enunciado

Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.

g t = 1 t

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui queremos encontrar a derivada da função dada usando a definição, e também queremos encontrar os domínios da derivada e da função, o domínio são para quais valores de x aquela função existe.

Vamos lá, para calcular g ' ( t ) pela definição vamos ter que relembrar a fórmula:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Passo 2

Ela parece complicada, mas só parece, temos que substituir com a função que queremos, vamos lá:

g ' t = lim h → 0 ⁡ g t + h - g t h = lim h → 0 ⁡ 1 t + h - 1 t h

Pronto, agora para resolver esse limite vamos ter que dá uma manipulada nele, vamos lá!!

Passo 3

Agora calma, não se assuste, vamos fazer algumas manipulações e vai da tudo certo. Vamos tirar o mínimo comum do numerador, vamos lá, com calma:

g ' t = lim h → 0 ⁡ 1 t + h - 1 t h

Realizando o mmc:

= lim h → 0 ⁡ t - t + h t + h ∙ t h

= lim h → 0 ⁡ t - t + h t t + h h

Realizando a distributiva:

= lim h → 0 ⁡ t - t + h t 2 + t h h

Vamos multiplicar a expressão do numerador pelo conjugado do numerador, já que temos raíz alí no meio, vamos lá, com calma:

g ' t = lim h → 0 ⁡ t - t + h t 2 + t h h

= lim h → 0 ⁡ t - t + h t 2 + t h ∙ t + t + h t + t + h h

Realizando a simplificação dos termos:

= lim h → 0 ⁡ t - t - h t 2 + t h ∙ t + t + h h

= lim h → 0 ⁡ - h t 2 + t h ∙ t + t + h h

Organizando a fração:

= lim h → 0 ⁡ - h t 2 + t h ∙ t + t + h ∙ 1 h

Simplificando:

= lim h → 0 ⁡ - 1 t 2 + t h ∙ t + t + h

Pronto, chegamos em uma expressão simples, agora é só resolver aplicadando o valor que h tende:

g ' t = lim h → 0 ⁡ - 1 t 2 + t h ∙ t + t + h

= - 1 t 2 + t . 0 ∙ t + t + 0

= - 1 t 2 ∙ t + t

= - 1 2 t t

= - 1 2 t 3 2

Passo 4

Agora vamos ver os domínios das duas funções:

Com a função g t = 1 t devemos nos preocupar com o denominador, que não pode ser igual a 0 e nem menor que 0 devido a raíz, assim devemos ter que t > 0 , então o domínio é 0 , ∞ .

Com a derivada da função, g ' t = - 1 2 t 3 2 temos a restrição que apenas o denominador deve ser diferente de 0 , assim temos o domínio - ∞ , 0 e 0 , ∞ .

Resposta

g ' t = - 1 2 t 3 2

Domínio de f = 0 , ∞

Domínio de f ' = - ∞ , 0 e 0 , ∞

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