Enunciado

3 ) Seja Ω = {(x, y) ∈ ℝ2 | (x, y) ∉ A}, onde A é a semirreta {(x, y)∈ ℝ2 | y= 0 e x ≥ 0}. Calcule

∫ γ - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y

onde γ   : [ 0 ,   1 ]   →   R 2 é uma curva C1 por partes, com imagem contida em Ω, talque γ   ( 0 )   =   ( 1 ,   1 )   e   γ   ( 1 )   =   ( 1 ,   - 1 )

Passo 1

Esse exercício é continuação do exercício resolvido 1-f. Temos aqui a mesma função com restrições diferentes. Desta vez não podemos Atravessar direto do 1º quadrante para o 4º quadrante. Teremos que fazer curvas para isso.

No exercício 1-f fizemos essa curva

Proponho a seguinte curva agora

Adicionar a curva horizontal inferior, visto que a reta em vermelha esta fora do nosso domínio, impossibilitando que tracemos uma linha vertical direta entre ( 1 ,   1 ) e ( 1 ,   - 1 )

Passo 2

Nosso calculo consiste em parametrizar nossa função F e calcular

∫ t 1 t 2 F γ t ⋅ γ ' t   d t

Proponho como parametrização

γ 3 t = ( t , - 1 )

- 1 < t < 1

γ ' 3 t = ( 1 , 0 )

Assim nossa F γ t fica

F γ 3 t =   1 t 2 + 1   ,   t t 2 + 1  

Passo 3

Vamos calcular essa integral agora

∫ t 1 t 2 F γ 3 t ⋅ γ 3 ' t   d t

∫ - 1 1   1 t 2 + 1   ,   t t 2 + 1   ⋅ 1,0   d t

∫ - 1 1 1 t 2 + 1     d t = π 2

Agora vamos adicionar esse valor com o resultado do item 1-f

∫ 1 - 1 F γ 1 t ⋅   1,0   d t + ∫ 1 - 1 F γ 2 t ⋅   0,1   d t = π

Logo temos

π + π 2 = 3 π 2

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ γ - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y =   3 π 2  

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