1. Calcule

e )   ∫ γ s e n   x y + x y cos ⁡ x y     d x + x 2 cos ⁡ x y   d y

Onde γ(t) = (t^2 - 1, t^2 + 1), -1 <= t <= 1

Passo 1

Estamos no capítulo de campos conservativos. Logo se conseguirmos provar que nossa função F admite uma Função Potencial dessa forma

F = ∇ ϕ

Logo nossa integral de linha fica

∫ A B F ⋅ d r =   ∫ A B ∇ ϕ ⋅ d r =     ϕ B - ϕ A

Quando F admite uma energia potencial, significa que F é independente de caminho logo podemos aplicar a Energia potencial final menos a inicial. Um dos métodos de provar a independência de caminho é

∇ × F = 0

Passo 2

Vamos provar que essa função admite Potencial

Nossa função F x , y = s e n   x y + x y cos ⁡ x y ,   x 2 cos ⁡ x y     . Quando dizemos que

F = ∇ ϕ

Implica que

F x , y = d d x ϕ , d d y ϕ

Vamos descobrir ϕ  

d d y ϕ = x 2 cos ⁡ x y

ϕ = x s e n ( x y )

Se derivarmos ϕ em relação a x obtemos

d d x x s e n x y =   s e n   x y + x y cos ⁡ x y  

Que é justamente nossa parte em x da nossa função vetorial, logo nossa Função Potencial é

ϕ = x s e n ( x y )

Passo 3

∫ A B F ⋅ d r =   ∫ A B ∇ ϕ ⋅ d r =     ϕ B - ϕ A

Agora só nos resta aplicar os pontos em ϕ . O enunciado nos diz

γ t = t 2 - 1 ,   t 2 + 1   ,   - 1 ≤ t ≤ 1

Isso quer dizer que

b = 0,2

a = 0,2

Eita! OS pontos são iguais. Isso significa que

ϕ B - ϕ A = 0

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ γ s e n   x y + x y cos ⁡ x y     d x + x 2 cos ⁡ x y   d y = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados