Enunciado

2 ) Seja F   :   Ω   ⊂   R n   →   R n contínuo no aberto Ω. Prove que uma condiçãonecessária para que F seja conservativo é que ∫ γ F ⋅ d r = 0 , para toda curva γ fechada C 1 por partes com imagem contida em Ω

Passo 1

Estamos no capítulo de campos conservativos. Logo se conseguirmos provar que nossa função F admite uma Função Potencial dessa forma

F = ∇ ϕ

Logo nossa integral de linha fica

∫ A B F ⋅ d r =   ∫ A B ∇ ϕ ⋅ d r =     ϕ B - ϕ A

Contudo Numa curva fechada o Ponto Final é o mesmo que o ponto Inicial. Visto que ao percorrermos todo o circuito chegaremos no ponto inicial. Assim

A = B

ϕ A - ϕ A = 0

O que nos faz concluir que

∫ γ F ⋅ d r = 0

Essa ideia é pode ser traduzida fisicamente como Trabalho Nulo. Uma conclusão muito importante quando estudamos Termodinâmica e Maquinas Térmicas. Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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3-10. Determine se F é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função f tal que F = ∇ f .3. F x ,y = x y + y 2 i + x 2 + 2 x y j
3-10. Determine se F é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função f tal que F = ∇ f .6. F x ,y = y e x i + e x + e y j
3-10. Determine se F é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função f tal que F = ∇ f .5. F x ,y = y 2 e x y i + 1 + x y e x y j
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Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = ∇ f .5- F x , y = x e yi + y e x j