1. Calcule
  1. ∫ ( 1,1 ) ( 2,2 ) y   d x + x   d y

Passo 1

Estamos no capítulo de campos conservativos. Logo se conseguirmos provar que nossa função F admite uma Função Potencial dessa forma

F = ∇ ϕ

Logo nossa integral de linha fica

∫ A B F ⋅ d r =   ∫ A B ∇ ϕ ⋅ d r =     ϕ B - ϕ A

Quando F admite uma energia potencial, significa que F é independente de caminho logo podemos aplicar a Energia potencial final menos a inicial. Um dos métodos de provar a independência de caminho é

∇ × F = 0

Passo 2

∫ ( 1,1 ) ( 2,2 ) y   d x + x   d y

Aplicando o ∇ × F = 0

Termos que satisfazer

d Q d x = d P d y

E no nosso caso fica

d d x x = d d y y

1 = 1

Show!!! Nossa Função admite uma energia potencial

Passo 3

Nossa função F x , y = ( y , x ) . Quando dizemos que F = ∇ ϕ

Implica que

F x , y = d d x ϕ , d d y ϕ

Vamos descobrir ϕ  

d d x ϕ = y

ϕ x , y =   y x + θ y

Agora so temos que descobrir se ao integrar em y se obtemos alguma função exclusivamente dependente de y

d d y ϕ = x

ϕ x , y = x y

Como integrando parcialmente em ambos os casos encontramos a mesma função . Logo nosso Energia Potencial é

ϕ x , y = x y

Passo 4

∫ A B F ⋅ d r =   ∫ A B ∇ ϕ ⋅ d r =     ϕ B - ϕ A

Vamos descobrir o resultado dessa integral de linha

=     ϕ B - ϕ A

Sendo B = (2,2) e A= (1,1)

= 2 ⋅ 2 - 1 ⋅ 1

= 3

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ( 1,1 ) ( 2,2 ) y   d x + x   d y = 3

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