Calcule

∫ 0 1 x + 1 2 d x

Passo 1

Podemos reescrever a integral como sendo:

∫ 0 1 x + 1 2 d x = ∫ 0 1 x 2 + 2 x + 1 d x = ∫ 0 1 x 2 d x + ∫ 0 1 2 x d x + ∫ 0 1 d x

Passo 2

Agora vamos aplicar a integração de polinômio

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Para ∫ x 2 d x , n = 2

∫ x 2 d x = x n + 1 n + 1 = x 2 + 1 2 + 1 = x 3 3

Para ∫ 2 x d x = 2 ∫ x 1 d x , n = 1

2 ∫ x 1 d x = 2 x n + 1 n + 1 = 2 x 1 + 1 1 + 1 = 2 x 2 2 = x 2

Para ∫ d x = ∫ x 0 d x , n = 0

∫ x 0 d x = x n + 1 n + 1 = x 0 + 1 0 + 1 = x 1 1 = x

∫ 0 1 x - 3 2 d x =   x 3 3 + x 2 + x

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F x uma primitiva de f x , então:

∫ a b f x d x = F b - F a

Assim: x 3 3 + x 2 + x 1 0 =

= 1 3 3 + 1 2 + 1 - 0 3 3 - 0 2 + 0 = 1 3 + 2 = 1 + 6 3 = 7 3

Resposta

∫ 0 1 x + 1 2 d x = 7 3

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