Enunciado

Esboce a área apresentada por g x . A seguir, encontre g ' x  

  1. Utilizando a parte 1 do teorema fundamental do cálculo parte 1
  2. Calculando a integral usando a parte 2, e então, derivando.

g x = ∫ 0 x ( 2 + s e n   t   ) d t

Passo 1

Bom pessoal, nessa questão nós temos a função

g x = ∫ 0 x ( 2 + s e n   t   ) d t

Primeiro temos que esboçar a área representada por essa função. Para isso, basta fazer o gráfico da função s e n ( t ) , transladada em 2 unidades para cima.

Depois teremos que encontrar a derivada de g ( x ) , isso é,

g ' x

Na letra a), vamos usar a parte 1 do teorema fundamental do cálculo que diz que se temos uma função:

g x = ∫ a x f t d t

Então, teremos:

g ' x = f ( x )

Já na letra b), teremos que encontrar essa mesma derivada mas para isso vamos calcular o valor da integral e então derivar.A resposta tanto na a) quanto na b) devem dar o mesmo resultado!

Passo 2

Sabendo que a área da função é o “espaço “entre o gráfico da função e a curva. Vamos esboçar!

Esbocei aí o gráfico da função s e n ( t ) , só que transladado em 2 unidades para cima.

Dessa forma, ao invés de oscilar entre - 1 e 1 , essa função oscila entre 1 e 3 .

Passo 3

Agora vamos resolver a letra a)

Usando o teorema fundamental do cálculo, g x = ∫ a x f t d t

Então,

g ' x = f x

No nosso caso,

g x = ∫ 0 x ( 2 + s e n   t   ) d t

Então,

g ' x = 2 + s e n ( x )

Simples assim!

Passo 4

Resolvendo item b), vamos calcular essa integral!

g x = ∫ 0 x ( 2 + s e n   t   ) d t

Usando a regra da soma,

∫ 0 x 2 d t +   ∫ 0 x s e n   t   d t

O primeiro termo é resolvido com a integral da constante:

∫ 0 x 2 d t = 2 t | x 0

E o segundo termo é a integral do seno:

∫ 0 x s e n   t   = - cos ⁡ t | x 0

Portanto, teremos:

g x =   2 t ​ 0 x - c o s t ​ 0 x

= 2   x - 2 0 - cos ⁡ x - - cos ⁡ 0

Ou seja,

g x =   2   x - cos ⁡ x + 1

Derivando,

g ' x = 2 - - s e n x   + 0

g ' ( x ) = 2 + sen ⁡ x      

Resposta

Letra a)

g ' x = 2 + s e n   x

Letra b)

g ' x = 2 + s e n   x

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