a) ∫ 2 x - 3 x - 1 3 d x

Passo 1

A motivação nessa questão será fazer uma substituição de variável para tentar trabalhar melhor com o denominador.

u = x - 1       ( * )

Derivando,

d u = d x

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa! Da substituição, temos que x = u + 1 .

Nossa integral era:

I = ∫ 2 x - 3 x - 1 3 d x

E vai ficar assim ó:

I = ∫ 2 ⋅ u + 1 - 3 u 3 d u =   ∫ 2 u - 1 u 3 d u

Separando em duas integrais:

I = ∫ 2 u - 1 u 3 d u = ∫ 2 u 2 d u - ∫ 1 u 3 d u  

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c     quando   n   ≠ - 1  

Passo 3

Agora é só terminar!

I = ∫ 2 u 2 d u - ∫ 1 u 3 d u   = 2 ⋅ u - 2 + 1 - 2 + 1 - 1 u - 3 + 1 - 3 + 1 + c

Fazendo as contas:

I = - 2 u + 1 2 u 2 + c

Voltando para x :

I = - 2 x - 1 + 1 2 ( x - 1 ) 2 + c

Resposta

- 2 x - 1 + 1 2 ( x - 1 ) 2 + c

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