Calcule a integral.

∫ d x x x 2 + x + 1

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Pra começar a gente pode tentar fatorar esse polinômio aí debaixo. Só que essa belezinha não tem raiz! Ou seja, ele é irredutível. Não há o que fazer com ele então...

A gente vai usar frações parciais então, com o caso com 1 fator linear e um fator quadrático irredutível.

Vai ficar assim:

1 x x 2 + x + 1 = A x + B x + C x 2 + x + 1

Passo 2

Vamos lá então, a gente precisa achar esses A ,   B   e   C aí.

Se multiplicar os dois lados por x x 2 + x + 1 vai ficar:

1 = A x 2 + x + 1 + B x + C ( x )

Aí a gente desenvolve...

1 = A x 2 + A x + A + B x 2 + C x

1 = x 2 A + B + x A + C + A

Pra isso ser verdade, a gente precisa:

A + B = 0 A + C = 0 A = 1

Ótimo! Daqui a gente tira que:

A = 1 ; B = - 1   e   C = - 1

Passo 3

Reescrevendo nossa fração então temos:

1 x x 2 + x + 1 = 1 x - 1 - x x 2 + x + 1

Nossa integral então pode ser separada em:

∫ 1 x   d x + ∫ - 1 - x x 2 + x + 1   d x

A primeira a gente sabe que é:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x

E a segunda...

Passo 4

∫ - 1 - x x 2 + x + 1   d x

Vamos separar em:

∫ - 1 x 2 + x + 1   d x - ∫ x x 2 + x + 1   d x

Vamos focar nessa aqui primeiro:

∫ - 1 x 2 + x + 1   d x

Vamos completar o quadrado na função debaixo:

∫ - 1 x + 1 2 2 + 3 4   d x

E fazendo uma substituição u = x + 1 2 → d u = 1   d x :

- ∫ 1 u 2 + 3 4   d u

Isso aqui é integral de a r c t g   x . No nosso caso vai ser:

= - 2 3 a r c t g   2 u 3

E voltando pra x :

=   - 2 3 a r c t g 2 x + 1 3 + C

Passo 5

Agora falta a integral:

∫ x x 2 + x + 1   d x

Vamos completar o quadrado igual na outra:

∫ x x + 1 2 2 + 3 4   d x

E aí a gente substitui:

u = x + 1 2 → d u = 1   d x

∫ u - 1 2 u 2 + 3 4   d u

2 ∫ 2 u - 1 4 u 2 + 3   d u

2     ∫ 2 u 4 u 2 + 3   d u - ∫ 1 4 u 2 + 3   d u

Resolvendo agora essas integrais:

2 1 4 ln ⁡ 4 u 2 + 3 - 1 2 3 a r c t g   2 3 u

Aí a gente volta pra variável x :

1 2 ln ⁡ 4 x + 1 2 2 + 3 - 1 3 a r c t g   2 3 x + 1 2 + K

Passo 6

Agora a gente só tem que juntar todas as respostas que encontramos...

∫ d x x x 2 + x + 1

= ln ⁡ x - 2 3 a r c t g 2 x + 1 3 -   1 2 ln ⁡ 4 x + 1 2 2 + 3 - 1 3 a r c t g   2 3 x + 1 2 + C  

Essa ficou gigante né?! Mas é isso! conseguimos😉

Resposta

ln ⁡ x - 2 3 a r c t g 2 x + 1 3 -   1 2 ln ⁡ 4 x + 1 2 2 + 3 - 1 3 a r c t g   2 3 x + 1 2 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados