Calcule a integral.

∫ x + 3 x 2 + 2 x + 2   d x

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Essa aqui vai ficar grandinha hein? Mas vamos com calma...

Vamos separar essa integral em duas, assim:

∫ x x 2 + 2 x + 2   d x + ∫ 3 x 2 + 2 x + 2   d x

Ok, agora vamos resolver cada uma separadamente e depois juntar os resultados.

Passo 2

Resolvendo primeiro a:

∫ x x 2 + 2 x + 2   d x

Vamos completar o quadrado na função da raiz:

∫ x x 2 + 2 x + 1 - 1 + 2   d x = ∫ x x + 1 2 + 1   d x

Beleza, agora a gente faz a substituição u = x + 1 . Teremos d u = 1   d x e x = u - 1 :

∫ u - 1 u 2 + 1   d u

Passo 3

Agora nós vamos separar essa integral novamente:

∫ u u 2 + 1   d u - ∫ 1 u 2 + 1   d u

Resolvendo a primeira:

∫ u u 2 + 1   d u → v = u 2 + 1 → d v = 2 u   d u → d v 2 = u   d u

= 1 2 ∫ 1 v   d v = 1 2 2 v = v = u 2 + 1

E a segunda é uma integral elementar (tem nas tabelas do livro):

∫ 1 u 2 + 1   d u = ln ⁡ u + u 2 + 1

E aí juntando as duas:

∫ u - 1 u 2 + 1   d u =   u 2 + 1 - ln ⁡ u + u 2 + 1 + C

Falta voltar pra variável x , sendo que fizemos u = x + 1 :

x + 1 2 + 1 - ln ⁡ x + 1 + x + 1 2 + 1   + C

Ok, a primeira parte da integral já foi!

Passo 4

Vamos resolver essa aqui agora:

∫ 3 x 2 + 2 x + 2   d x

Vamos fazer o mesmo procedimento que fizemos na outra, até a substituição u = x + 1 :

∫ 3 u 2 + 1   d u

Chegamos até aqui.

Bom, essa é igual aquela ali de cima que é elementar. Então...

= 3 ln ⁡ u + u 2 + 1

E aí voltamos para a variável x :

= 3 ln ⁡ x + 1 + ( x + 1 ) 2 + 1  

Passo 5

Cansou?

Calma que agora é só a gente juntar tudo o que encontramos...

∫ x + 3 x 2 + 2 x + 2   d x

= x + 1 2 + 1 - ln ⁡ x + 1 + x + 1 2 + 1   + 3 ln ⁡ x + 1 + x + 1 2 + 1 + C

(Você pode expandir esse quadrado aí pra ficar a raiz igual a do início)

=   x 2 + 2 x + 2 - ln ⁡ x + 1 + x 2 + 2 x + 2   + 3 ln ⁡ x + 1 + x 2 + 2 x + 2 + C

E agora acabamos! 😉

Resposta

x 2 + 2 x + 2 - ln ⁡ x + 1 + x 2 + 2 x + 2   + 3 ln ⁡ x + 1 + x 2 + 2 x + 2 + C

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