10. Calcule

o )   ∫ x 1 - x 4 d x

Passo 1

Vamos começar usando a propriedade de potência a m n = a m . n no x 4 .

∫ x 1 - x 4 d x =   ∫ x 1 - x 2 2 d x

Agora, podemos perceber que derivando o termo dentro dos parênteses teremos algo parecido com o valor no numerador. Logo, faremos

u = x 2   ⇒ d u = 2 x   d x   ⇒ x   d x = d u 2

Substituindo na integral

∫ x 1 - x 2 2 d x =   ∫ 1 1 - u 2 d u 2 = 1 2   ∫ 1 1 - u 2 d u  

Passo 2

Lembrando que ∫ 1 1 - x 2 d x =   sin - 1 ⁡ x + k

1 2   ∫ 1 1 - u 2 d u = 1 2 sin - 1 ⁡ u + k = 1 2 sin - 1 ⁡ x 2 + k    

Resposta

Logo,

∫ x 1 - x 4 d x = 1 2 sin - 1 ⁡ x 2 + k      

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