Enunciado

Um tanque de armazenamento de petróleo sofre uma ruptura em t = 0 e o petróleo vaza do tanque a uma taxa de r t = 100 e - 0,01 t litros por minuto. Quanto petróleo vazou na primeira hora?

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos um tanque de petróleo vazando a uma taxa de:

r t = 100 e - 0,01 t

Dada em litros por minuto. Queremos saber quanto de petróleo vaza dentro de 1   h !

Como t é dado em minuto, então queremos calcular a quantidade de petróleo que vazou nos primeiros 60 minutos.

Para isso, devemos integrar a nossa função r t no intervalo de 0 a 60 .

Em outras palavras, devemos resolver a seguinte integral:

P 60 = ∫ 0 60 100   e - 0.01 t   d t

Onde P 60 é a quantidade de petróleo que iremos descobrir.

Passo 2

Colocando as mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = - 0,01 t

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = - 0,01 d t

Assim, reescrevendo na integral, obtemos:

P 60 = ∫ 0 60 100 e u - 0,01   d t ∴

P 60 = - 100 0,01 ∫ 0 60 e u d u

Passo 3

Resolvendo a integral, obtemos:

P 60 = - 100 0,01 ∫ 0 60 e u d u ∴

P 60 = - 100 0,01 e u 60 0

Voltando a variável original e aplicando os limites:

P 60 = - 100 0,01 e - 0,01 t 60 0 ∴

P 60 = - 10000 e - 0,01 t 60 0 ∴

P 60 = - 10000 e - 0,01 × 60 - ( - 10000 e - 0,01 × 0 ) ∴

P 60 = 4512 litros

Prontinho!

Resposta

P 60 = 4512 litros

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