10. Calcule

n )   ∫ 2 4 - 9 x 2 d x

Passo 1

Vemos que essa integral é bem parecida com a integral imediata ∫ 1 1 - x 2 d x =   sin - 1 ⁡ x + k . No entanto, precisamos fazer alguns ajustes.

Primeiro, vamos fazer o termo 4 se tornar o 1.

∫ 2 4 - 9 x 2 d x = ∫ 2 4 4 - 9 x 2 4 d x = 2 2 ∫ 1 4 - 9 x 2 4 d x =   ∫ 1 1 - 9 x 2 4 d x  

=   ∫ 1 1 - 9 x 4 2 d x =     ∫ 1 1 - 3 x 2 2 d x  

Passo 2

Para melhorar, faremos

u = 3 x 2   ⇒ d u = 3 2 d x   ⇒ d x = 2 3   d u

Substituindo na integral

  ∫ 1 1 - 3 x 2 2 d x   =   ∫ 1 1 - u 2 2 3 d u = 2 3 ∫ 1 1 - u 2 d u          

Passo 3

Resolvendo essa integral imediata

2 3 ∫ 1 1 - u 2 d u = 2 3 sin - 1 ⁡ u + k = 2 3 sin - 1 ⁡ 3 x 2 + k  

Resposta

Logo,

∫ 2 4 - 9 x 2 d x =   2 3 sin - 1 ⁡ 3 x 2 + k    

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