10. Calcule

x ) ∫ x 3 1 + x 8 d x

Passo 1

Primeiro, vamos utilizar a propriedade de potência a m n = a m . n

∫ x 3 1 + x 8 d x = ∫ x 3 1 + x 4 2 d x

Passo 2

Agora, vemos que, se derivarmos o termo dentro dos parênteses, vamos obter algo parecido com o que está no numerador. Então, fazendo

u = x 4   ⇒ d u = 4 x 3 d x   ⇒ x 3 d x = d u 4

Substituindo na integral

∫ x 3 1 + x 4 2 d x =   ∫ 1 1 + u 2 d u 4 = 1 4 ∫ 1 1 + u 2 d u      

Passo 3

Lembrando que ∫ 1 1 + x 2 d x =   tan - 1 ⁡ x + k . Logo,

1 4 ∫ 1 1 + u 2 d u   = 1 4 tan - 1 ⁡ u + k = 1 4 tan - 1 ⁡ x 4 + k

Resposta

Portanto,

∫ x 3 1 + x 8 d x =   1 4 tan - 1 ⁡ x 4 + k

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