Calcule a integral.

∫ 0 π 4 cos 2 ⁡ θ tg 2 ⁡ θ d θ

Passo 1

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

∫ cos 2 ⁡ θ tg 2 ⁡ θ d θ

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: temos cosseno e tangente na expressão, vamos usar então a identidade abaixo para tentar deixar tudo com seno e/ou cosseno:

tg 2 ⁡ x + 1 = sec 2 ⁡ x → tg 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x - 1

Vamos substituir:

∫ cos 2 ⁡ θ tg 2 ⁡ θ d θ = ∫ cos 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ - 1 d θ = ∫ cos 2 ⁡ θ 1 cos 2 ⁡ θ - 1 d θ = ∫ 1 - cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ sen 2 ⁡ θ d θ

Usamos na integral que sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x e a identidade trigonométrica sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 , vamos fazer mais uma manipulação, usando:

sen 2 ⁡ x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

Assim:

∫ cos 2 ⁡ θ tg 2 ⁡ θ d θ = ∫ sen 2 ⁡ θ d θ = ∫ 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ = ∫ 1 2 d θ + ∫ - cos ⁡ 2 θ 2 d θ

Passo 2

Vamos calcular as duas integrais separadamente:

A primeira é fácil achar a primitiva da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k d x = k x + C

Então ficamos com:

∫ 1 2 d θ = 1 2 θ + C

Passo 3

A segunda vamos fazer uma Substituição, vamos fazer com que u seja a expressão dentro do cosseno, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = 2 θ

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u =   2 d θ → d θ = d u 2

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ - cos ⁡ 2 θ 2 d θ = ∫ - cos ⁡ u 2 . 2 d u = ∫ - cos ⁡ u 4 d u

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k d x = k x + C

∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x + C

Vamos usar:

∫ - cos ⁡ u 4 d u = - 1 4 ∫ cos ⁡ u d u = - sen ⁡ u 4 + C

Passo 4

Agora é só juntar:

∫ 1 2 d θ + ∫ - cos ⁡ 2 θ 2 d θ = 1 2 θ - sen ⁡ u 4 + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = 2 θ :

∫ 1 2 d θ + ∫ - cos ⁡ 2 θ 2 d θ = 1 2 θ - sen ⁡ u 4 + C = 1 2 θ - sen ⁡ 2 θ 4 + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

∫ 0 π 4 cos 2 ⁡ θ tg 2 ⁡ θ d θ = 1 2 θ - sen ⁡ 2 θ 4 0 π 4 = 1 2 . π 4 - sen ⁡ 2 . π 4 4 - 1 2 . 0 - sen ⁡ 2 . 0 4 = π 8 - 1 4

Resposta

∫ 0 π 4 cos 2 ⁡ θ tg 2 ⁡ θ d θ = π 8 - 1 4

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