Enunciado

Calcule a integral.

int_0^((pi)/(4)) cos^2 theta tg^2 theta d theta

Passo 1

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

int cos^2 theta tg^2 theta d theta

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: temos cosseno e tangente na expressão, vamos usar então a identidade abaixo para tentar deixar tudo com seno e/ou cosseno:

tg^2 x + 1 = sec^2 x -> tg^2 x = sec^2 x - 1

Vamos substituir:

int cos^2 theta tg^2 theta d theta = int cos^2 theta (sec^2 theta - 1) d theta = int cos^2 theta ((1)/(cos^2 theta) - 1) d theta = int 1 - cos^2 theta d theta = int sen^2 theta d theta

Usamos na integral que sec x = (1)/(cos x) e a identidade trigonométrica sen^2 x + cos^2 x = 1 , vamos fazer mais uma manipulação, usando:

sen^2 x = (1 - cos 2 x)/(2)

Assim:

int cos^2 theta tg^2 theta d theta = int sen^2 theta d theta = int (1 - cos 2 theta)/(2) d theta = int (1)/(2) d theta + int (- cos 2 theta)/(2) d theta

Passo 2

Vamos calcular as duas integrais separadamente:

A primeira é fácil achar a primitiva da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int k d x = k x + C

Então ficamos com:

int (1)/(2) d theta = (1)/(2) theta + C

Passo 3

A segunda vamos fazer uma Substituição, vamos fazer com que u seja a expressão dentro do cosseno, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = 2 theta

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u = 2 d theta -> d theta = (d u)/(2)

Fazendo a substituição ficamos com:

int (- cos 2 theta)/(2) d theta = int (- cos u)/(2 . 2) d u = int (- cos u)/(4) d u

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int k d x = k x + C

int cos x d x = sen x + C

Vamos usar:

int (- cos u)/(4) d u = - (1)/(4) int cos u d u = - (sen u)/(4) + C

Passo 4

Agora é só juntar:

int (1)/(2) d theta + int (- cos 2 theta)/(2) d theta = (1)/(2) theta - (sen u)/(4) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = 2 theta :

int (1)/(2) d theta + int (- cos 2 theta)/(2) d theta = (1)/(2) theta - (sen u)/(4) + C = (1)/(2) theta - (sen 2 theta)/(4) + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Vamos lá:

int_0^((pi)/(4)) cos^2 theta tg^2 theta d theta = ((1)/(2) theta - (sen 2 theta)/(4))_0^((pi)/(4)) = (1)/(2) . (pi)/(4) - (sen 2 . (pi)/(4))/(4) - ((1)/(2) . 0 - (sen 2 . 0)/(4)) = (pi)/(8) - (1)/(4)

Resposta

int_0^((pi)/(4)) cos^2 theta tg^2 theta d theta = (pi)/(8) - (1)/(4)

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