Calcule a integral.

∫ x x + c 3   d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos uma raiz, podemos tentar fazer com que u seja essa raiz, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = x + c 3 → u 3 = x + c → x = u 3 - c

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

3 u 2 d u =   d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ x x + c 3   d x = ∫ u 3 - c u   3 u 2 d u = ∫ 3 u 6 - 3 c u 3 d u = ∫ 3 u 6 d u + ∫ - 3 c u 3 d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Então ficamos com:

∫ 3 u 6 d u + ∫ - 3 c u 3 d u = 3 ∫ u 6 d u - 3 c ∫ u 3 d u = 3 ∙ u 6 + 1 6 + 1 - 3 c ∙ u 3 + 1 3 + 1 + C = 3 u 7 7 - 3 c u 4 4 + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = x + c 3 :

∫ x x + c 3   d x = 3 u 7 7 - 3 c u 4 4 + C = 3 x + c 3 7 7 - 3 c x + c 3 4 4 + C

Resposta

∫ x x + c 3   d x = 3 x + c 3 7 7 - 3 c x + c 3 4 4 + C

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